青年自学 2700277 数。学 上海人（虫版姓 ==========第1页========== 菁带学人丛 数 学 (下册) 上海师范大学数学系编 N91: 上海人名女於社 ==========第2页========== 青年自学丛书数学(下册)上海师范大学数学系编上海人本热热出版(上形霜兴路5号)血季专在上海发行所发行上海商务印刷厂印剧开本87×109212印度9.75字数212.0001075年11月铺1版195年11月算1次印1 统→书号：13171156定价：0.62元 ==========第3页========== 毛主席语录 马克思主义包含有自然科学，大家要来研究自然科学，否则世界上就有许多不懂的东西，那就不算一个最好的革命者。 马克思主义的哲学认为十分重要的问题，不在于懂得了客观世界的规律性，因而能够解释世界，而在于拿了这种对于客观规律性的认识去能动地改造世界。 农村是一个广阔的天地，在那里是可以大有作为的。 ==========第4页========== 《青年自学丛书》编辑说明 毛主席教导我们：“知识青年到农村去，接受贫下中农的再教育，很有必要。”在毛主席的伟大号召下，一批又一批有共产主义觉悟的青年生气勃勃地奔赴农村，这是对缩小三大差别、限制资产阶级法权有深远意义的伟大事业。 在农村这个广阔的天地里，广大知识青年认真读马、列的书，读毛主席的书，朝气蓬勃地战斗在三大革命运动的第一线，坚定地走同工农相结合的道路，对建设社会主义新农村作出了贡献，无严阶级英堆人物不断涌现，一代革命青年正在营壮成长。这是毛主席革命路线的伟大胜利。 按照毛主席关于“要关怀青年二代的成长”的教导，为了适应广大上山下乡知识青年自学的需要，特编辑、出版这套《青年自学丛书》。丛书以马列主义、毛泽东思想为指导，内容包括哲学、社会科学、文学、自然科学的一些基本知识和实用农业技术知识等。我们希望，这套丛书的出版，能对上山下乡知识青年的学习起积极作用，有助于他们进一步提高阶级斗争、路线斗争和无产阶级专政下继续革命的觉悟，进一步提高政治理论水平和文化科学水平，在又红又专的道路上阔步前进，更好地适应建设社会主义新农村和各项事业发展的需要， 我们对大力支持这套丛书的出版工作的有关单位和作者，表示衷心的感谢，并欢迎广大读者对这套丛书提出意见和批评，以便改进。 上海人人放基 ==========第5页========== 目 录 第七章抛物线、二次函数和一元二次方程…1 第一节抛物线44…1 一、什么是抛物线(1)二、抛物线的形状()三、对称轴平行于坐标轴的抛物线(11) 第二节二次函数44…24 一、二次函数的意义和图象(24)二、二次函数的极值(27) 第三节一元二次方程…32 一、一元二次方程的意义(32)二、一元二次方程的解法(34) 第八章圆、椭圆和双曲线…43 第一节圆44…43 一、列的方程(43)二、找圆心(46)三、等分圆周(51) 四、直线与圆就、例通与圆班的连接(56) 第二节鞘圆…6羽 一、椭圆(69)二、坐标轴的旋转(78)三、多边形切削的数学原理（⊙0） 第三节双曲线…87 一、双曲线(87)二、圆维曲线(97) 第九章其他儿种常用曲线…101 第一节等速螺线…101 一、什么是等速螺线(101)二、极坐标系(105)三、等速螺线的极坐标方程(111) 第二节渐开线和摆线…121 一、衔开线(121)二、摆线(126) 第十章对数、计算尺和算图…135 第一节对数的慨念及运算法则…135 一、对数的意义(135)二、积、商和哥的对数的运算法则(138) ==========第6页========== 第二节常用对数…12 一、求常用对数的方法(12)二、已知对数求真数(17) 三、常用对数的应用(148)四、对数的换底(151) 第三节计算尺…154 一、计算尺的构造和刻度原理(14)二、利用计算尺作乘除运算.(156) 第四节算图…166 一、什么是算图(166)二、算图的绘制(168)三、算图在农村计算中的应用举例(181) 第十一章优选法和统筹方法…187 第一节优选法 …】87 一、优选法的基本方法(187)二、双因素问题的优选方法(200)三、特殊情况下的优选方法(205) 第二节统筹方法208 一、主婴矛盾线和工序流线图（②09）二、计算时差(22) 三、平行作业和交错作业一零箭头的应用(216)四、人力安排和工程进程一一横道图(218) 第十二章数理统计方法简介……226 第一节平均数、误差、平均偏差平方和…226 一、平均数(226)二、误差(227)三、误差的估计与平均偏差平方和(230) 第二节试验设计 …237 一、做试验要注意的几个问题(237)二、田间试验设计(240)第三节回归分析…271 一、两个变量的线性回归关系(21)二、回归直线在植保方面的应用(275)三、可以化成线性回归的例子(278)四、方差分析(281) 附录…286 一、常用对数表(286)二、反对数表(289)三、试验设计正交表(293)四、五表(298)五、习题答案(300) 2 ==========第7页========== 第七章抛物线、二次函数 和一元二次方程 第一节抛物线 一、什么是抛物线 恩格斯指出：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”物体抛射出去后右空中运动的轨迹，使我们得到抛物线的概念.在不考虑空气阻力的情况下，炮弹的弹道曲线；菜农浇水时从水管里喷射出来的水流；打篮球时球在空中的运动轨迹等等，都是抛物线的一段.“下面我们以飞机空投物资问题为例，来引进抛物线的方程. 为支援抗洪斗争，我人民解放军空军某部奉命把抗洪物资空投到某村庄.假设投掷物品时，飞机的高度为九，飞行沿着水平方向，速度是).那么飞机应该在和村庄的水平距离多远的地方将物品掷下（空气阻力略去不计）？ 我们以投掷时飞机所在的位置为坐标原点，过原点的水平线为x轴，以飞机飞行的方向为x轴的正向；过原点的铅垂线为y轴，以向下方向为正（图7-1）.设经过时间t后，掷下物品到达位置P(x,). 我们知道，掷下的物品在空中运动所经的路线，是由两方面的因素决定的。当物品离开飞机时，一方面由于惯性的作 一一 ==========第8页========== P(,y) 图7-1 用，飞机给它一个水平速度，使它沿着飞机飞行的方向作等速运动，它的速度就是飞机的速度心.因此在时刻，空投物品在水平方向移动的距离是 元i (1) 另-·方面，由于重力的作用，使空投物品向下作等加速运动.在时刻t,物品落下的距离y,由力学原理知道，应该是 (2) 其中9是重力加速度. (①)和（②）式就是描写空投物品运动过程的方程.当时刻 专取某一确定值时，由(1)和（②）式可以算出空投物品P在这 一时刻的位置的坐标心和y.随着时刻专的不断变化，点P的位置就相应地连续变动.这样，动点P(?,y)就描绘出空投物品的运动轨迹 现在我们来消去变量，得到和y的直接关系式，由 (1)式得 t= 代入(2)式，得 y-2(》, -2一 ==========第9页========== 即 22-202 (3) (3)式就是在任一时刻，点P的坐标x和y所要满足的运动轨迹方程，其中"，9是常数 设投掷物品时，飞机和村庄的水平距离为山.为了准确地把物品投送到村子里，村庄的坐标(d,)就应该适合于（③）式： 222h. 9 这就是说，飞行员应该当飞机和村庄的水平距离为 d=ev2h 时投下物品. 在数学里，我们一般地把(3)式这种类型的方程，写成形如 x2=土2p则 或 y2=±2px(p>0) 的形式.这些方程的特征是：只含有一个变数的二次项和另 一个变数的一次项.它们所确定的曲线叫做抛物线.而这些方程叫做抛物线的标准方程。 练习 在上例中，如果飞机在投掷物品时的飞行高度n=490米，飞机沿水平 方向飞行的速度v=150米/秒，求在图7-1的坐标系中，被投掷物品的轨道曲线方程.为使物品准确地投入村庄，飞机应在和村庄的水平距离多远的地方将物品投下（重力加速度9=9.8米/秒2，空气阴力略去不计) x2=225000 4约，1500米. 3 ==========第10页========== 二、抛物线的形状 我们虽然已经知道抛物线的大体形状，但认识还有待于深化.上述飞机投掷物品的轨道曲线，只是抛物线的一段，要比较全面地掌握某种曲线的几何性质，一个重要的方法是根据曲线的方程来探讨.下面我们以方程 x"=2py (1) 为例，对抛物线的形状作进一步的讨论 1,在方程(1)中，以〔一)代替，方程不变.这就是说， 如果点(，y)是抛物线(1)上的 一点，那么点（一，）也在这抛物线上.所以这抛物线是轴对称图形，它的对称轴就是y轴.我 0 们说，这抛物线关于则轴对称（图7-2). 图7-2 2.抛物线和它的对称轴的 交点，叫做抛物线的顶点.抛物线(1)的对称轴（即y轴）的方程是=0.那么，顶点的坐标，就是抛物线方程(1)和它的对称轴的方程愈=0所组成的方程组的解.我们把一0代入 (1)式，得y=0.即抛物线(1)以坐标原点为顶点. 3.在方程(1)中，左边 x>0, 因而右边也应满足 2pw>0. 因为常数卫是正数，所以必有y≥0.由此可知，整个抛物线 (1)都在y≥0的半平面内（即x轴的上方）. 4.对于y≥0的任一值，可得 4一 ==========第11页========== x=±/2py. 从上式知道，当y的值增大时，需的绝对值也随着增大.因此，抛物线()向左上方和右上方无限伸展，形成一条向上开口的曲线. 5.y轴上的点F(O,号)叫做抛物线的焦点.方程(1) 中的常数P,确定了焦点F的纵坐标，因此我们把卫叫做焦点 参数. 【例1】画抛物线x2=3y,并求它的焦点坐标. 解：根据对抛物线2=2侧的讨论可知，抛物线x2=3y的顶点在原点，对称轴是y轴，抛物线在心轴的上方，向上开口.用描点法可以把它的图象画出来.将原方程变为 y-、公9 39 可作出下面的数值表： 0 土1 ±2 ±3 士4 0 3 3 3 根据上表数据，在直角坐标系内描点，并用平滑的曲线按从左到右的顺序连接各点，便得到图7-3所示的抛物线 因为2即-3-，所以焦点的坐标是(0，) 上面只讨论了抛物线=2py的形状，它的顶点在原点，焦点在 图7-3 ==========第12页========== y轴的正半轴上，曲线是向上开口的.方程 2=-2py,y2=2pa,y2=-2px 所确定的曲线，也都是以坐标原点为顶点的抛物线，只是它们在坐标系中的相对位置不同，开口方向也不同.现在把抛物线的四种标准方程和它们的图形列表如下（其中？>0）： 图 方程 x2=2y x-2py y2px 32=-2pe 焦点 a,) 0,-) (智o) (-·o 上面这类方程，例如 2=2pw, 移项，得 x2-2py=0, 它们都含有两个变数，并且变数的最高次数是二次，叫做二元 二达方程.一般的二元二次方程具有下面的形式： Ax2+By+Cy+Dx+Ey+F=0. 我们将会看到，不同形式的二元二次方程，确定不同的曲线。这里，形如 Ax+Ey=0 或 Cy2+Dx-0 的二元二次方程，都表示抛物线. 【例2】求抛物线2y2+9x=0的焦点的坐标，并且画出图形. 一6一 ==========第13页========== 解：原方程就是 9 这是以x轴为对称轴，向左开口的抛物线. 9 这里2p= 号-9所以它的焦点的坐标是(-8,0) 按照c=一2y2,作下面的数值表： 士1 士2 士3 士4 2 8 -2 6 根据上表数据，就可以画出如图7-4所示的抛物线 抛物线绕对称轴旋转，就形成抛物 面.如果将点光源放在抛物线的焦点F 图7-4 处[图7-5(1)]，它射出的光线经过抛物面的反射，就变成与对称轴平行的一束平行光线.根据这个道理，探照灯与汽车前灯的反光曲面都是做成抛物面的[图7-5（②）、()]. (1) (2 (3) 图7-5 ー7 ==========第14页========== 反过来，平行光线经过抛物面的反射，就会聚在焦点[图7-6(1)],太阳灶就是根据这个原理设计的[图7-6（②）].它的形状就象一把倒放的雨伞，这个凹形伞面是一个抛物面.太阳光经抛物面的反射，聚光在焦点.因此，焦点处温度很高，如将炊具放在焦点位置，就可烧水、煮饭 (1) (8) 图7-6 【例3】某厂广大工人和技术人员，通过批林批孔运动，抓革命，促生产，在短时间内试制成功了伞形太阳灶，为我国开展利用太阳能的工作作出了贡献.这种太阳灶的抛物线方程为 =2600x (单位：毫米)，问炊具支持架应设计在抛物线对称轴上离顶点多远的地方？ 解：这就是要求出焦点的坐标.由方程 y2=2800x 可得 一8一 ==========第15页========== 2p=2600, 即 650. 所以焦点的坐标是(650,0)、即炊具支持架应设计在抛物线对称轴上离顶点60毫米处 【例】汽车前灯的反光曲面，是将抛物线围绕它的对称轴旋转而成的抛物镜面.它的抛物线图形如图7-7所示（单位：毫米）.要使光线经过反射后成为平行光束，灯泡应放在什么位置？ 100一 解：由抛物线的光学特性我们知 道，这也是要求出焦点F坐标的问题 图7-7 为此，我们先求抛物线的方程.在图7-7所示的坐标系里，这抛物线的方程具有形式 y2-2c. 把点A的坐标(100,100)代入这方程，得 1002=2p×100, 因此 p=50. 所以焦点的坐标是(25,0).即灯泡应装在离灯底25毫米处 抛物线的图形，可以象例1那样根据方程来画.另外我们再介绍一种几何画法 设求作的抛物线拱的宽（即开口处）是2b,高是五.作长方形ABCD,使DA=2b,AB=h(图7-8).取DA的中点O. 把线段OA和AB分成相同的等分（图中都是5等分，分点越 多越精确).连接点O和AB上的各分点B,B2,B,…,得 ー9 ==========第16页========== OB,OB2,OB,….过OA上的各分点A1,A2,A3,…, 作OA的垂线，它们顺次和OB,OB2,OB,…相交于P1, Pg,Pa,…各点.用平滑的曲线连接O,P1,P,Pa,…,B各点，就得到所求抛物线拱的一半，再利用抛物线的对称性，可画出拱形的另一半， 이 图7-8 为什么这样画出来的曲线是抛物线呢？我们以点P1为例 来说明 在图7-8中，取直线DA为x轴，O为原点，建立直角坐标系.这样，点B的坐标是(b,h),设点P的坐标是(c,).由 △0AP1∽△0AB1, 得 1OA AB0A, 就是 成云， 所以 y-AB. (1) 又从作图方法知道ABOA AB OA' ==========第17页========== 就是 h 所以 AB:=h 将上式代入(1)式，得 也就是 ” 这说明，点P1在抛物线 会g 上.同样，P,P3,…各点也都在这条抛物线上。所以用上 面的方法画成的曲线是抛物线。 练习 1.求下列各抛物线的焦点的坐标，并且画出图形： (1)=4c; (2)2x+5y2=0: ③)y-豆4 (4)2■-3y. 2。用几何画法，按1：100画拱宽13.5米，高4.5米的抛物线形桥拱 [1.()1,:2(-0,吵(3(0，}④(0，-）-] 三、对称轴平行于坐标轴的抛物线 拱桥在我国具有悠久的历史.目前仍然保留下来的不少古代拱桥，是我国桥梁建筑方面的宝贵遗产.我国广大桥梁工人遵照毛主席关于“自力更生”、“古为今用”的教导，在古代拱桥结构的基础上，创造了双曲拱桥（图7-9.双曲是指在纵 -11一 ==========第18页========== 图7-9 横两个方面都弯曲).这种桥梁具有造价低、自重轻、材料省、施工方便、桥型美观等优点，在我国已广为应用.雄伟的南京长江大桥的公路引桥，就是采用双曲拱桥的结构， 双曲拱桥的桥拱有的采用抛物线形.如图7-10所示的抛物线拱桥，跨径（即拱宽）为广，矢高（即拱高）为∫.在预制 拱架前，需要求出方程并进行 图7-10 放样。在生产实践中，为了放 样方便，一般以桥拱的一端为坐标原点，建立直角坐标系（图7-10). 怎样建立这种坐标系下的抛物线方程呢？为此，我们先介绍坐标轴的平移 1,坐标轴的平移点的坐标是对于某一个确定的坐标系来说的.为了便于处理某些有关图形的问题，往往需要用另一个直角坐标系来代替原来的坐标系 例如，改变原点的位置，但坐标轴的方向和长度单位不 -12一 ==========第19页========== 变，这样的坐标变换叫做坐标轴的平移 “每一事物的运动都和它的周围其他事物互相联系着和互相影响著。”坐标系变了，点的坐标也随着改变.这就要研究在新旧坐标系中，点的坐标的内在联系间题 1P(y) 如图7-11所示，0x和0y是原 0(a,bM 来的坐标轴，O'x和Oy是平移后的新坐标轴.新坐标系的原点Oo在旧坐标系中的坐标是(a,b). 图7-11 设点P是平面内任意一点，它在旧坐标系中的坐标是 (,y),在新坐标系中的坐标是(，y),那么从图中可以看出， -0A+AM=0A+0'M'=a+x'y=MM'+M'P=40+M'P=6+y', 就是 x=x十a, (1) 3=3+6. 这两个式子是用点的新坐标x和y,表示它的旧坐标"和y.(α，b)是新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标.以后我们把这两个公式叫做移轴公式.移轴公式显然也可以写成 x'=-a, (2) y=q-6. 这是用旧坐标和y来表示新坐标x和矿 【例5】平移坐标轴，把原点移到O'(-4,),求点 A(3,-2)的新坐标 解：这是已知点的旧坐标x=3,y=一2来求它的新坐标.因为a=一4，b=5,代入移轴公式（②），得 -13 ==========第20页========== =3-(-4)=7, y=-2-5=-7. 即点A的新坐标是7，-)（图7-12）. 0-4,5) 0(1,-3 A(3,-2) 图7-12 图7-13 【例6】平移坐标轴，把原点移到0(1，一3)，求方程 y2-8x+6y+17=0 所表示的曲线在新坐标系中的方程. 解：方程一8x+6y+17=0指出了曲线上一切点的旧坐标它，y间的关系. 因为新原点在旧坐标系中的坐标是(1，-3)。由移轴公式知道，旧坐标(x,)和新坐标(x',)之间的关系是 x=m+1,y=y-3. 把上式代入原方程，就得到曲线上一切点的新坐标心和y之间的关系： (y-3)2-8(x+1)+6(则-3)+17=0， 化简后，得 y=8x. 这就是所给曲线在新坐标系中的方程。我们知道，它表示一条抛物线，如图7-13所示。 一14一 ==========第21页========== 从这个例子可以看到，曲线的方程和坐标系的选择有关，同一曲线在不同的坐标系中具有不同形式的方程.因此，适当选择新的坐标系，可改变曲线的方程，使它化为我们所熟悉的形式，这样就便于掌握曲线的性质. 2。对称轴平行于坐标物的批物线我们现在利用坐标轴的平移，来建立图7-10中所示的抛物线的方程 在图7-10中，以抛物线顶点为新坐标系的原点，建 0 立新直角坐标系，如图7-14所示， 图7-14 在新坐标系中，抛物线方程应形如 x2=-2py. 从图中可以看出，抛物线上一点A的新坐标是(经，-)将 A的新坐标代入方程，得 若-2m(-n, 即 4f· 所以桥拱在新坐标系中的方程是 的 (1) 因为新坐标系原点0在旧坐标系中的坐标是(合)所以根据移轴公式有 x=x-2, y'=yーf. 15 ==========第22页========== 代入方程(1)，得 即 y=其(-r. (2) 这就是以桥拱一端为坐标原点，对称轴平行于轴的桥拱抛物线方程 根据方程（②），算出抛物线上一些点的坐标，列成下面的表格： 0.051 0.102 0.157 0.201 0.251 0,301 0.19f 0.36f 0.51f 0.64f 0.75f 0.84f 如果已知1=30m,f=3m,那么将(，f的数值代入上表，就得到： 1.5 4.5 6 7.5 9 0.57 1.08 1.53 1.92 2.25 2.52 根据表中一组组数值，在旧坐标系中描点，并用一条平滑的曲线依次将它们连接起来，就可画出桥拱形状（图7-16）. マ 图715 一般来说，如果已知抛物线的顶点在点(4，b),焦点参数是P,对称轴平行于y轴，并向上开口，那么在以点(a,b)为新坐标系的原点，且坐标轴与旧坐标轴平行的新坐标系内，所给 16— ==========第23页========== 抛物线的方程是 x2=2p则， 把x'=c-a,=y-b代入上面的方程，得 (x-a)2=2p(y-b). (1) 这就是所给抛物线在原坐标系中的方程， 同样，我们可以求得以(@，)为顶点，对称轴平行于坐标轴，向下、向右或向左开口的抛物线的方程。它们顺次是： (x-a)2=-2p(y-b), (2) (y-b)2=2p(x-a) (3) 和 (y-b)2=-2p(x-a）. (4) 将(1)~(4)式展开，例如展开(1)，(4)两式，分别得 a2-2ax+a=2py-2pb, 和 2-2by+b2=-2pt+2pa. 移项，得 x2-2ax-2py+a2+2pb-0, 和 2y2-2by+2pc+b2-2pa=0. 一般地，只含有一个变数的二次项，而另一个变数仅有一次项的二元二次方程，即形如 Ax+Dx+Ey+F-0 或 Cu+Dx+Ev+F=0 的二元二次方程，都表示抛物线。我们把它们叫做抛物线型方程. 【例T】菜农用水管喷水浇菜，喷出的水流形成抛物线。 如果水流的最高点离地面3米，出水口点O到最高点的水平 距离为4米.以通过点O的水平线和铅垂线为c轴和y轴，写出这股水流的方程， 一7 ==========第24页========== 解：如图7-16所示，因为水流抛物线顶点的坐标是(4， ),对称轴平行于y轴，并且向下开口，所以它的方程是 (x-4)2=-2p(y-3). 0 图7-16 又因为这抛物线经过原点，所以=O,y=0应满足上式，就是 (0-4)2=-2p(0-3), 即- 因此，所求的方程是 a-P-g-8, 化简得 3 【例8】平移坐标轴，化简方程2x2+4x+y+6=0,并且画出图形. 解：我们可用配方法来解本题.把原方程移项，得 2x2+4x=-y-6, 就是 +2m号-3. 我们应用类似第二章因式分解中的配方法，使左边配成二项式的平方，得 ー18一 ==========第25页========== 2+2x+1=-g-3+1, 2 就是 a+02=-当-2， 也就是 (e+102=-g+到. 令化+1=x,y+4=则，就是按照移轴公式，用c=x-1,y=则-4代入上式，方程就化成 x2=-1 0-4 . 我们看到，平移坐标轴，把新坐标系的原点定在0（一1，-4），曲线的方程就化成抛物线的标准方程。这抛物线的对称轴平行于g轴，向下开口（图7-17） 【例9】在水岸建设中，为了有控 图7-17 制地排泄蓄水，要建造溢洪道.在设计溢洪道时，为了消除水流对闸口地基的冲刷作用，通常采用如图7-18所示的建筑. 承减中心线 下游水面 冲蝴坑 图7-18 19 ==========第26页========== 水流经过一段陡坡，流经一条挑槛后，向空中挑射出去，然后落到距离闸口较远的河流中，这样，就可以减小水流对闸口地基的冲刷作用 为此，需要求出这股水流离开挑槛在空中挑射出去后的运动状态，就是要求出它的运动轨迹， 考虑水流中心线上的一个水质点.以这个质点在挑槛末 端出水处所在位置为原点，建立如图7-19所示的坐标系. B 设水质点挑射出去的初速为,它和Ox轴（水平方向）的夹角为 a.并设t秒后水质点在B(,y). 图7-19 下面我们来分析水质点所在位置的 坐标x和y与时刻t之间的关系.如果不考慰重力的作用， 那么在时刻，水质点应到达点C,这时OC=成.但实际上， 由于受重力的影响，水质点的位置在B处.由力学原理知道， 相差的这段距离 CB-oP 因此，在时刻，水质点的水平位移是 x=0A=Votcosa; 水质点到达的高度是 -AB=AC-BC-vtsina1 这里9是重力加速度， 在方程 =Uot cosa (1) y-vot sina-70 (2) -20- ==========第27页========== 中，取不同的时刻t,就得到相应的点B的坐标x和y.这样， 动点B就描绘出水质点的运动轨迹.因此，(1)，（②）两式就 是水质点的运动方程 现在我们来消去变量，得到x和y的直接关系式.由 (1)得 t= vocosa 代入(2)，得 y=vosina_ vo cosa 即 y=ttga一 922 vicoe'a ・ 移顶，每项都乘以2哈c0sa,且应用关系式 sin 2a=2 sin a cosa, 得 ga2-vx sin 2a+2vy cos?a=0. 这就是在任一时刻水质点的坐标x和y所要满足的运动轨迹方程.我们已知道这是抛物线型方程.所以水流经过挑槛在空中挑射出去后的运动轨迹是一条抛物线. 如果o一12.3米/秒，a=25°，那么所求抛物线的方程是 9.8x2-12.32sin60°.x+2×12.32c0s226°…y=0,就是 9.8x2-116x+248.6则=0. 练习 1.坐标轴平移后，旧坐标系中的点(2，一1)在新坐标系中的坐标是(一2,4).求新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标.测出新旧坐标系和这一点， 2.平移坐标轴，把顶点移到0(1，-2)，求曲线2-4x+4y+8=0在新坐标系中的方程. 3。利用坐标抽的平移，化简方程x2+4虹一8划一4=0，并画出新旧坐标 -21一 ==========第28页========== 系和这个方程的曲线 4.由喷水池喷出的水所成的抛物线，它的焦点参数是0.1.如果已知它落在与出口距离2米的池内，求喷水的高度， [1.(4,-5).2.y2=4x.3.x2=8y.4.5米.] 小结 1.方程x2=士2例或y2=士2x所表示的曲线叫做抛物线，这些方程叫做抛物线的标准方程， 2.抛物线x2=2py有一条对称轴x=0(即y轴)，对称轴和抛物线的交点(0,0)叫做抛物线的顶点；抛物线从顶点起向对称轴的两旁无限 伸；点(0，号)叫做抛物线的焦点，P叫做焦点参数. 3。平行移动坐标轴，使旧坐标系中的点(，b)为新坐标系的原点，那么同一点的新坐标(x,和旧坐标(c,)之间的关系是：=父十a,y=十b. 4.对称轴平行于坐标轴，且以(4，b)为顶点的抛物线方程是 (x-a)2=±2p(y-b)或(y-b)2=土2p(x-a). 5,形如Ax2+Dx+Ey+F=0或Cy2+Dx+Ey+F=0的方程都表示对称轴平行于坐标轴的抛物线 习 题 1.求符合下列条件的抛物线的方程，并画出它们的图形： (1)通过点(0,0)和(2，一4)，并且对称于x轴； (2)通过点(0,0)和(2，一4)，并且对称于y轴； (3)顶点在原点，焦点是F(一4,0). 2,某车间的吊车梁采用新型的鱼腹结构.附图中AOB鱼腹部分是 91 008 0 -2168 (第2题) 22 ==========第29页========== 抛物线。求这抛物线的方程 9。有一雷达的天线是由抛物线绕对称轴旋转而成的进面.抛物线的焦点和顶点间的距离是1000毫米.求这抛物线的方程（以顶点为原点，对称轴为y轴)。 4,建造抛物线拱形薄壳冕顶如图所示.已知跨度是4米，拱高是跨 度的子.工人同志施工前要制造模板。试按1：0画出这拱形， (第4题) (第5题) 5.如图，悬桥的链，形状近似抛物线.如果链的垂度OA=a,而跨度BC=2b,试按图中指定的坐标系写出链的方程 6.如图是抛物线形拱桥.当桥洞下水面的宽为1=4m时，拱顶离水面2米.如果水面下降1米，水面宽多少？ (第6题) 7.建造一条12米宽的大道，矢跨比（拱高和拱宽的比）设计为2.5%，筑路工人用等距的五条路桩支撑抛物线形路面的断面，如图所示。已知中间的一条路柱的长度是0.6米，求其余四条路桩的长 -23一 ==========第30页========== (第7题) 8,北方冬季地基施工，常利用反射电炉烤热冻土层.反射电炉的反射面是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面，发热器放在抛物线的焦点.一个反射电炉的截面尺寸如图所示（单位：厘米)，发热器应放在什么地方？ -400- 9,抛物线的集点是（一2,3），顶点是(3， (第8题) 3),求它的方程，并用平移坐标轴的方法化为标准方程，画出新旧坐标系和曲线 10,求抛物线2y+x+4y+6=0的顶点和焦点的坐标. 11,设吊桥的桥索下垂成抛物线形，桥素两端各离水面20米，两端的水 平距离是80米，桥素中点（即抛物线的顶点）离水面6米.以桥素所在平面内的水平线为工轴，经过桥索中点的铅垂线为y轴，求桥素的方程， 第二节二次函数 一、二次函数的意义和图象 在上节的例9中我们知道，溢洪道的水流从挑槛挑射出去后，中心线上水质点的坐标之间具有下列关系： g y=atga-2话coga 对于水质点的一个确定的横坐标x,必有一个确定的纵坐标y和它对应.这个关系式表明了水质点的纵坐标随着横坐标的变化而变化的规律.亦即水质点纵坐标y是横坐标x的函数. 在这样的函数关系中，自变量最高的次数是二次.这种 24一 ==========第31页========== 函数叫做二次函致.在实际问题中，我们经常退到二次函数 例如半径是的圆，它的面积S是用下面的公式米表示 的 S=πィ2， 这里$是”的二次函数. 物理学中所讨论的匀加速运动是一种变速运动，但每秒钟所增加的速度（就是加速度）是一个常量，物体在匀加速运 动中，它离开一个定点O的距离8是用下面的公式来表示的： 1 8=2a2+en6+0, 这里a是加速度，o是初速度，是物体开始运动时离开定 点O的距离，它们都是常量：8是时间的二次函数. 二次函数的…毁形式是 y=ar2+bx+e(a≠0). 把上面的二次函数的一般形式写成 ax2+hx-4+c--0 可以看出，这是抛物线型方程，所以二次函数的图象是抛物线 【例1】画函数y=2x2-3x-5的图象. 解：计算和y的对应值如下表： -51 按上表描点，即可画出如图7-)的抛物线. 直接用描点法画二次函数的图象， 图7-20 -25- ==========第32页========== 只能粗路地显示一个轮廓.有时需要具体知道所画抛物线的顶点的坐标，我们可利用上一节平移坐标轴的方法求得， 例如为求抛物线 y=22-3x-5 的顶点的坐标，同上节例8一样，先移项，得 22-3x=y+5, 就是 ②×5 然后配方， +9=1 9=5到十2+ 16, 得到 (e--(+) .上式变 令元=x+4,='一 成以点（受，-智）为原点的新坐标系中49 的方程 x1 计算和的对应值，列表如下： ±1 士2 图7-21 0 2 8 然后在新坐标系中描点，即可画出如图7-21所示的抛物线.因为这抛物线的顶点就是新坐标系的原点，所以它在原 坐标系中的坐标就是(，-智> -26- 语0 ==========第33页========== 练习 画函数y=一x2一3x+2的图象，并求出顶点的坐标。 二、二次函数的极值 在上例中我们看到，函数 V=2x-3x-5 的图象是向上开口的抛物线顶点（冬，-想）是图象上的最低点。因此，当云=是时，y取得它可能取得的一切恒中最小的值（简称极小值）一9 8 一股地说，如果二次函数的图象是向上开口的抛物线，那么当自变量x的值等于顶点的栈坐标时，函数取得极小值 同样，如果二次函数的图象是向下开口的抛物线，那么顶点是图象上的最高点.当自变量x的值等于顶点的横坐标时，函数取得它所能取得的-切值中最大的值（简称极大值）. 二次函数的极小值和极大值总起来叫做二次函数的极值 因为二次函数的极值与它的图象顶点的坐标密切相关，所以我们米一般地求二次函数 ysG2中bz十G 的图象的顶点 先移项，得 ax3+b:=4-c, 就是 (+)-φーα 配方，得 27- 师 ==========第34页========== (+음+)--+ 就是 ae+》'-g-如4a. 令 世=+，=到-4ac-h2 得 ax2-, 即 ”-d. 可以看出， y=ax"+6x+c 所表示的抛物线的顶点在（一云，如。）.而且当a>0 时，曲线向上开口；当a<0时，曲线向下开口. 由此可知，函数 y=ax+6x+c 当 x=一2a 时，取得极值.如果(>0，抛物线向上开口，取得的是极小值：如果a<0,抛物线向下开口，取得的是做大值.这个极值总是 3别6=4C-b2 4a 事实上，当自变量取一云时，这时的函数值就是极 值. 【例2】求二次函数y=3x2+12x+7的极值.、-28一 ==========第35页========== 解：这里e=3.万-12，所以当 =一 -12=-2 2a2×3 时，有 ys=3(-2)2+12(-2)+7=-5. 因为%-3>0，所以求得的极值是极小值 【例3】某生产队要造猪棚，在围墙材料一定的情况下，各边取多少长，才能使面积最大. 解：我们分两种情况来讨论， (1)只造一间图7-22). 材料一定，也就是猪棚的周长P为定长.设这间猪棚的 长为尺，那么究是P≥2尺.面积2 2少-2 图7-22 这是一个二次函数.现在要求当x取什么值时S达到最大. 这里a=-1,6-号所以当 P -喜-)b 时， pa p2 p2 8-i6=6(平方尺)(.a<0. 这间猪栅的宽是 P P-2 52-42 29 ==========第36页========== 可见，只造一间猪棚.在周长一定的情况下.取 长宽号置-11 即正方形时面积最大， (2)造一排相同的间（图7-23）. 年年年0 带傅 图7-23 n间猪棚的周长P仍为定长.设每间长尺，那么宽是 P-(m+1z尺. 2n 面积 S=P-(n+120=-+1. 2n 2n 2n 这仍是一个二次函数.当 P 2n P 2.%+I-2(a+D(尺) 2n 时， PP s品2片--[3a可 P2 8n(m+旷（平方尺.. 每间猪棚的宽是 P P-+1E 2n P-a+0+过-(R.2n 一30- ==========第37页========== 可见，造一排相同的%间猪期，用相同数量的材料，每间取 :上=2：(m+1) P 长：宽=2m+1丁物 时.面积最大.例如一排造12间猪棚，每间取长：宽=24：13时面积最大， 练习 求下列函数的极植： (1)y=3-2c+2; (2)y=-2x24.c+5. [(1)极小值2；(2)极大值7.] 小 结 1.由y=aa+br+c(a*0)所确定的函数叫做二次函数. 2.二次函数y=ax2+bc+c的图象是抛物线.当a>0时，向上开口；当a<0时，向下开口， 3。二次函数)-an+证+e当=-云时有极值.如袋u>0,函 数有极小值；如果a<0,函数有极大值. 习 题 1,画下列函数的图象： (1)y=(x-1)2-2; (2)y=2+2x+3. 2.已知抛物线通过A(-2,0),B(0,0)和C(1,一3)三点，它的轴 平行于y轴.求这抛物线的方程，并画出图象.（提示：在形如y=a:x2+bx+c的抛物线方程中，把已知点的坐标代入，然后求a,b和c.) 9.求下列各抛物线的顶点的坐标，对称轴的方程和开口的方向：1)y=-青2-2x-5所 (2)y=3r2-5x 4.木材厂的工人要将一批同样形状的三角形零星木板锯成长方形 (如图).已知三角形木板底边BC的长是2尺，高AH是1.6尺， 怎样的锯法才能使废弃的材料最少？ -3} ==========第38页========== (第4题) (第5题) 5,某生产队要用篱笆围成长方形的养鸡场地，如果篱笆只能总长60尺，一边利用房屋的墙壁（附图），那么各边取多少长才能使场地的面积最大？ 6.没在：墙上要开一个上部为半圆，下部为长方形的户.在窗框的长度一定的情况下，长方形的宽与高的比应是多少，才能使空气流 8 通最畅？ 7,生产队要造猪棚，一边利用已有的墙壁.在糊 (第6题) 舍周长一定的情况下，每间的长与宽之比为多少时，才能使面积最大？（分一间和一排n间两种情况讨论.） 第三节一元二次方程 一、一元二次方程的意义 在上一节关于二次函数的极值问题中，我们讨论了自变量x取什么值时，二次函数 y=ax+6x+c 取得它的极大值或极小值 在三大革命运动的实践中，我们还常遇到另一类实际问题，在二次函数 y=ax+6x+c 中，需要找出自变量x取什么值时，y取得某一特定值.我们来看下面一个例子： ー32一 ==========第39页========== 某生产队需要开挖一条水渠，根据流量要求，设计水渠横断面的面积为22.5平方米，渠底宽3米，坡比为1：1.5.那么水渠的深应为几米（图7-24）？ 设水渠的深为x米.根据坡 图7-24 比为1：1.5的要求，可得水渠的宽为 2×1.j:+3=3x+3. 由梯形的面积公式，得横断面的面积y为 글(-+3+)-~+3 这说明水渠的横断面面积y是深度x的二次函数 根据题意，我们要找出使y为22.5平方米的x的值，即 8+-26 这是含有一个未知数x的等式，并且未知数最高的次数是二次、这样的等式叫做一元二次方程。上面的方程可以攻写成 2+2x-15=0 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0)， 把一元二次方程 ax*+6x+-c=0 (1) 同二次函数 y=ax2+6x+c (2) 相比较，不难看出，在(2)中使二次函数则为零的自变量x的值，就是一元二次方程(1)的解.为了求得一元二次方程的解，我们可以用画图象的方法.从图象上看，二次函数(2)的图象与￠轴的交点的横坐标，就是一元二次方程的解。 一33一 ==========第40页========== 例如一元二次方程 x2-2x-2=0 的解，就是二次函数 y=2-2m-2 当等于零时，自变量x的值.因为 二次函数 图7-25 y=x-2x-2 经配方后得 (x-1)2=(y+3). 它是以(1，一3)为顶点，向上开口的抛物线（图7-25）.从图象中可以看出，它与化轴交点的横坐标大约是一0.7和2.7.因为此时y=0.所以x≈0.7和龙≈2.7就是原方程的解. 二、一元二次方程的解法 用画图象的方法所得一元二次方程的解，不太精确，下面我们介绍一元二次方程的解法. 【例1】解下列方程： (1)2-16=0: (2)5x2+6x=0. 解：对以上这类方程，可以用分解因式的方法来解。 (1)原式可分解为 (-4)(+4)=0. 这样，方程的左边是两个因式的积，而右边是零， 我们知道，如果两个因数的积等于零，mn=0,那么m和n至少有一个等于零，即m=0或n=0.相反，如果m和中有一个等于零，m=0或%=0，那么，它们的乘积一定是苓，即mm=0. 因此，满足方程 =34一 ==========第41页========== (r4)(x+4)-0 的m值.必定使得 x-4=0或+4=0。 所以原方程的解是 1=4,x3=-4 (2)在方程5+6c=0中，左边分解因式，得 x(5x+6)=0, 因此， x=0和5x+6=0 的解就是原方程的解，即 x1=0,0g=一5 【例2】解本节开头求水渠深的方程.x2+2一15=0.解：我们把原方程配方.移项，得 3+2x=15 配方后，得 x2+2x+1=15+1, 就是 (x+1)3-16 这样，我们就可以用开平方的方法，求得 x+1=士生 因此原方程有两个解： =4-1=3=-4-1=-6 根据实际问题，所求的是水渠深，负数不合题意，舍去.所以水渠深应为3米. 在解这个问题时，我们把方程 x2+2x-15=0 进行配方，然后求解。这样的方法叫做配方法， 【例3】解方程：3w2+4红-7=0. -35- ==========第42页========== 解：原方程可以写做 =0. 移项，得 + 30=3 配方后，得 c。+4x+4=之 g=3+0 就是 (e+- 9 即 + 3 因此原方程有两个解 -+을----。2,6 把配方法推广到一般，就得到解一元二次方程的公式法方程 ax3+bc+c=0(a≠0) 可以化成 2+6x+g=0. a 移顶，得 m2+bx=-9 a 配方后，得 +台+（会-+， 就是 36一 ==========第43页========== 如果-4如≥0.也就是如果-4ac≥0，那么根据平 Aa2 方根的性质，得 1b2-4ac e+6=主√420 就是 心+，名=±√b2-ac, 2a 因此， x=-b±=4ac 2a 这样，我们导出了求一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的解的公式.对于一般的一元二次方程，只要把方程的各项系数代入公式，就能够求出方程的解. 【例4】应用公式解方程：5x2+3a-1=0.解：这里，a=5,b=3,c=-1.因此 x=-3±V3-4×6×-亚=-3±2④ 2×6 10 就是 ,=二3+V29 10 =-3-V20 10 【例5】本章第一节例9中溢洪道排流轨迹方程是 M 9.8x2-116x+248.5w=0, 图7-26 如果水流射出时的初始位置与下游水位的高差是ym=13m, 一37一 ==========第44页========== 求水流的水平射程xm(图7-26). 解：根据题意，水流射入水面的点M的坐标(c,y)中，成=n,y=ym=-13,代入原方程，有 9.8x2-116xm-3230.6=0. 解这个一元二次方程，得 k-16±V6+4×9.8×3230.6 2×9.8 =116±374.3 19.6 就是 c)=116+374.3 19.6-9 wg116-374.3 19.6 m是负数，不合题意，所以舍去，得 xn=25. 即水流的水平射程是25米. 【例6】有一条上半部是半圆，下半部是长方形的污水 渠道，它的横截面如图7-27所示.根据排泄污水的需要，要求渠道的横截面是 3.88平方米.求上部半圆的半径（精确到0.01米). 解，设半圆的半径为心米，那么上 图7-27 部半圆的面积是受平方米，下部长方 形的面积是2x(2一c)平方米. 根据问题所给的条件，可列出方程 2+2(2-)=3.88. -38 ==========第45页========== 取π=3.14，代入并化简后，得 0.432-4x+3.88=0. 应用公式，解得 c=4±√(-4)2-4×0.43×3.88 2×0.43 =2±√/4-0.3×3.88 0.43 _2±√2.3316≈2±1.527 0.43 0.43-. .‘.1m8.20,2=1.10 花，不合题意，舍去.所以渠道上部半圆的半径应是1.10米. 根据一元二次方程 ux*+br+c=0 的求解公式： 购-6+-g,-b-二G2a 2a 可以知道： 当b2一4ac一0时，c1和心是两个不相等的实数，即方程有两个不相等的实数解： b 当2-4C=0时，，-一2a,即方程有两个相等的实数解； 当2-4<0时，由干在实数范围内，负数不能开平方，所以方程没有实数解. 上面的讨论表明]，根据b-4a心的值，可以判定一元二次方程 Qa*+6x+c=0 -39- ==========第46页========== 的解的情况.我们把 D=b2-4ac 叫做-一元二次方程ax2++c=0的解的判别式. 【例7】判别下列方程的解的性质： (1)32+4-4=0 (2)9x2+4=12m (3)5(x2+2)-7m=0. 解：(1)D=4-4×3×(-4)=16+48>0, 所以这个方程有两个不相等的实数解 (2)这个方程就是9x2-12x+4=0, D=(-12)2-4×9×4=144-144=0, 所以这个方程有两个相等的实数解 (3)这个方程就是5x2-7x+10-0, D=(-7)2-4×5×10=49-20<0, 所以这个方程没有实数解 小结 1.形如ax+bx+c=0(a*0)的方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程可用配方法或公式法来解. 3.方程ax2+br十c=0(a中0)的解是 x=-b±V√-4c 2a 其中D=b2-4n叫做根的判别式.当D>0时，方程有两个不相等的 实数解；当D=0时，方程有两个相等的实数解：当D<0时，方程没有 实数解。 习 题 1.分别用配方法和公式法解方程2x2一3x一5=0。 2.解下列方程： ー40 ==========第47页========== (1)3c2+5x-2=0; 倒）1号4-=2： (3)V22-4V3x-2√2=0： (4)(31)(x+2)=20 3.在制造某种规格变压器的硅钢片时，要把一块长为300毫米，宽为200笔米的长方形硅钢片，从中间去掉-一块面积为14400平方毫米的长方形，并使四周剩下的边一样宽.求这个宽度， -300- 14400毫米 (第3题) 4.红旗农具厂的工人师傅要把一批截面为正方形的钢料，在四角截去同样大小的等腰直角三角形，加二成截面为正八边形的工件（如图).如！果正方形的边长是50毫米，求加工后正八边形工件每边的长. 50 (第4题) 5.农村开挖灌溉渠时，先筑成-一条样形的地基，然后再从中挖土，堆放在渠道两边作渠堤.有-·条渠道尺寸如图（单位：米）所示.为了使于放样施工，试求堆土的高底宽， ==========第48页========== (第5题) 6.毛主席早就深刻地指出：“地主剥削的方式，主要地是收取地租，此外或兼放债，或兼雇工，或兼营工商业，”解放前的其一年，贫农王阿根一家辛勒劳动，收得的？食大部分给地主搜括去；又遇春荒断粮，逼得向地主借了3斗米，可是利上滚利，两年后地主竟要王阿根还7斗8升，我们来算这笔剥削账，两年中地主放高利货的年利率是多少（精确到1%）？ (提示：设年利率是工，一年后的本利是3（门十），两年后的本利是3(1+x)2.) 7,当k是什么数时，下列方程有两个相等的实数解 (1)(x-1)2=kx; (2)x2-9+k(r+3)=0. 、 -42- ==========第49页========== 第八章圆、椭圆和双曲线 第一节圆 一、圆的方程 在以前各章中，我们已不止一次地谈到有关圆的问题，并介绍过它的一些性质.为了进一步掌握圆的某些性质，我们将导出它在直角坐标系中的方程，并根据方程用代数方法来讨论， 设点P(c,)是以点M(a,b) P(x,y) 为圆心，”为半径的圆上任意一点 M(a,b) (图8-1)，那么从点P到点M的距 离应等于？，就是 √(c-a)2+(y-b)产=r.两边严方，得 图8-1 (x-a)2+(则-)2=m2 这就是所给的圆的方程 现在我们来平移坐标轴，把原点移到(@，b).利用移轴公式 x=x'+a,y=y'+b, 代入原方程，得 2+y2=r2 43一 ==========第50页========== 它就是以原点为圆心，？为半径的圆的方程 【例1】求圆心在点(-一4,3)，半径是6的圆的方程.解，所求的圆的方程是 (c+4)2+(则-3)2-62， 就是 x2+8x+16+y2-6y+9=36, 整理后，得 x2+gy2+8.x-6y-11=0. 【例2】画出方程4x2+4r2+24x-16到+43=0的图形.解：原方程可化为 2+y+6证-4g+投=0. 将常数项移到右边，并且对左边进行配方，得 46e+9+-4y+4=-轻+9+4 就是 (x+3)2+(g-2)2=9 所以原方程表示以点(-3,2)为图心，号为半径的一个圆。 它的图形如图8-2所示. 现在，一般地考虑下列二元 二次方程所确定的曲线： (-3,2 Ax2+Ay2+-Dx+Ey+F=0.(1)把(1)式改写成 +2+x++=0, 图8-2 经过移项配方后，得 (e+2°+g+尸P+412 -44 ==========第51页========== 当D㎡+E44F>0时，方程(1)是以点(-品，-2A/ 为圆心，以品方√D+E-4á丽为半径的圆的方程。 当D2+E-4AF=0时，方程(1)所确定的图形只有一 点（品，），叫做点盟 当D+E2-4AF<0时，方程(1)就不表示任何曲线. 【例3)正明圆宁+2-18x+45-0和直线y-音知-2相切，并求切点的坐标 解：在第六章中我们知道，两条直线的方程所组成的方程组的解，就是这两条直线交点的坐标.同样，圆和直线的方程所组成的方程组的解，就是这条直线和圆的交点的坐标，它们一般有两个解.当两个解相等时，表明直线和圆相交于一点，即它们相切.这个解就是切点的坐标.现在我们来解上面的圆和直线的方程所组成的方程组： 4 9x…2, (1) 2+y2-18x+45=0. (2) 这是由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，一般可以用代入法来解。即将一个未知数用另一个未知数的代数式来表示，将这个代数式代入另一方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.解这个一元二次方程，将所得结果代入上面的代数式，就可以得到两组解。其体步骤如下： 以(1)代入(2)，得 +（-2°-18+46-0, 45- ==========第52页========== 整理后，得 25x2-210x+441=0 这是一个一元二次方程。用公式法解这个方程得 z-210±√2104×25×44五 2×25 器，》21 就是 21 =g。5. 将x的值代入(1).得 18 图8-8 h=9=了· 因为所得的两组解相同，所以已知直线和已知圆只有一 个公共点，也就是它们相切于点（号， 2118,如图8-3所示. 练习 1.判别下列各点在圆+=25的里面？外面？还是在圆上？并说明理由： (1)(1,-2)；(2)(-3,-4):(3)(-5,7).2。画出下列各方程的图形（先求出圆心和半径）： 1)+ザ+s-7+号-0(2)2+2+5：-3-2-0。 3.求直线3x+y-13=0与圆x+=25的交点 [2山(-8，)，=4与 3.(4.8,-1.4,(3,4). 二、找圆心 我们知道，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.因此要画圆或者画圆弧，首先要确定圆心.下面介绍两种找圆心的方法 -46一 ==========第53页========== 1.三，点法在测绘生产队的平面图时，对较大的圆形粪池，因池的中心不能插标竿，所以不能直接测得它的圆心，那么怎样把这个圆形的地物准确地标在平面图上呢？贫下中农 先在粪池边上选A,B,C三点立标竿，并在小平板仪的图纸 上测得对应点A',B,C(图8-4).然后再过A',B,C画 圆.现在的问题是：如何由三点来找出圆心画圆？ 假定0是所求圆的圆心，根据同圆半径相等的性质，那么 OA'=OB=OC 要使OA'=OB,根据垂直平分线的性质，点O必定在A'B的 垂直平分线上：要使OB=OC,点O又必定在BC的垂直平 分线上，所以点O必定是这两条垂直平分线的交点.因此可 以这样找圆心并画圆 (I)连接A'B,BC,分别画A'B,BC的垂直平分线， 这两条线的交点O就是圆心， (②)以O为圆心，以O到A',B,C中任一点的距离为 半径画圆（图84）， 图8-4 从这个例子中，可以知道：弦的垂直平分线经过圆心，因此，两弦垂直平分线的交点必为圆心，所以过不在一条直线上的三点可以画一个圆， 一47 ==========第54页========== 在机械制造中，当精度要求不高时，为了加工方便.有时用圆弧来代替其他曲线的一段，而这个代用圆弧，又往往必须通过曲线上的三个已知点.这样，就需要通过三个已知点的坐标来求圆的圆心、半径和方程， 【例4)在钢球无级变速器中，有一个零件叫调速蜗轮(图8-5).蜗轮上有六条对称排列着的凹槽，凹梢的中心线原设计为等速螺线（曲线的一种，将在下一章内介绍）.现在为了加工的方便，改用圆孤近似地来代替.如果已知一条等 速螺线上的三个点为A(74,0),B(0,44)和C(41,41),试 求出圆弧ACB的圆心O的坐标和半径r1. B(044) C41,41) 图8-5 解：我们先求圆孤4CB所在圆的方程，然后求出圆心坐 标和半径。假定所求圆的方程是 ++Da+Ey+F=0. 那么已知三点A,B,C的坐标应满足这个方程，就是将它们 的坐标分别代入方程，等式成立.即有 ー48一 ==========第55页========== 74+74D+F=0, 44+44E+F=0, 41+412+41D+41E+F=0. 整理后，得 〔74D+F=-5476, (1) 44E+F=-1936 (2) 41D+41E+F=-3362 (3) 这是以D,E,F为未知数的两个二元一次方程和一个 三元一次方程所组成的三元一次方程组.和二元一次方程组 一样，我们也可以用消元法来解。 先消去F,把它化为D,E的二元一次方程组. (1)-(2),得 74D-44E=-3540, (4) (3)-(2),得 41D-3E=-1426. (5) 解(4)，()组成的方程组，得 D≈-33，E≈24. 将它们代入(2)，得 F=-2993. 所以所求圆的方程是 x2+y2-33x+24划-2993=0. 经配方，得 (c-16.5)2+(y+12)2=58.4°. 所以圆孤AB0的國心O1的坐标是(16.5，-12)，半径是 r1=58.4. 2、角尺法木工师傅常用角尺找圆心，先把角尺的直角顶点紧靠圆形工件的边缘，角尺的两边与圆形工件的边缘 -49 ==========第56页========== 交于A,B两点（图8-6）.过A和B画一直线.然后把角尺 转过一个角度，使角尺的直角顶点仍在圆形工件的边缘上，角尺的两 边与圆形工件边缘交于C,D两 点.过C,D又画一直线.两直线 相交于O.O就是所求的圆心. 为什么这样作出的点O就是圆 图8-6 心呢？ 我们把顶点在圆周，并且两边与圆周相交的角叫做圆周角。下面我们来证明：真径所对的圆周角是直角. 如图8-7所示，在圆O中，AB是直 径，∠ACB是圆周角.连接CO,显 然 0A=0C=0B, 图E7 所以△AOC和△C0B都是等腰三角形，因此有∠A=∠1， ∠B=∠2，即 ∠1+∠2=∠A+∠B. 又 .”∠1+∠2+∠A+∠B=180°（为什么？） ..∠1+∠2+∠1+∠2=180° ..∠1+∠2=0° 即直径所对的圆周角是直角.反过来，如果圆周角是直角，那么它所对的弦必是直径 因此，由于上述找圆心过程中所画的AB,CD都是直径， 所以它们的交点是圆心， ー50一 ==========第57页========== 练习 1,如图是皮带轮的碎块.为配制这个轮子，怎样画出它的轮廓图？ 2.求过三个已知点A(8,-2),B(6,一6) 和C(-1,-5)的圆的圆心和半径 3,工厂里浇铸圆轴的模子，是由两个 (第1题) 半圆形槽合成的.工人师傅常用角尺来检验模子是不是半圆形附图的三种情况中，哪种情况是合格的，并说明道理. (第3题) [2.(3,-2),r=5.] 三、等分圆周 在生产中，常常要在圆形工件上钻几个均匀分布的孔，这就要把一个圆周分成长度相等的几段弧.圆周被等分后，顺次连接圆周上的各个分点，可得到一个顶点在圆周上，各边相等，各角也相等的多边形，简称圆内接正多边形.所以画正多边形，也要用到等分圆周.下面介绍几种常用的等分圆周法： 1,利用量角器当圆周被n等分后，每一段弧所对的圆 心角都等于360（图8-8）.因此，要 把一个圆周分成等分，可先用量角 0 器在圆内画一个等于360°的圆心 880 角.以这一圆心角所对的弦长为半径，顺次在圆周上截弧，即可截取次 图8-8 51 ==========第58页========== 而无剩余，从而把圆周分成%等分 2.利用等分圆周表如图8-9所示，设圆0的直径是 d,AB是圆内接正n边形的一边.画 GC⊥AB.那么 0 ∠a-7∠40B-贵，80°2 n B 。180 图8-9 AB=2A0-20A sin a=2.. in1800d =dsin180° 如果用a表示圆内接正n边形的一边AB,用：（叫做直径 系数)表示sin180°,那么 a.=kd. 不同的%所对应的，可查等分圆周表： 等分图周表 等分数 直径的系数 等分数 直径的系数 等分数 直径的系数 为 ku 点 kn 11 0.2818 21 0.1490 12 0.2588 22 0.1423 3 0.8660 13 0.2394 23 0.1361 4 0.7071 14 0.2224 24 0.1305 5 0.5878 15 0.2079 25 0.1253 6 0.5000 16 0.1951 0.1204 7 0.4339 17 0.1837 27 0.1161 8 0.3827 18 0.1737 28 0.1119 9 0.3420 19 0.1645 9 0.1080 10 0.3090 20 0.1564 0.1045 52- ==========第59页========== 当知道了圆的直径d和等分数”时，查上表中k,的值，就能求出相邻两个分点间的距离a. 【例)】试在稻麦两用脱粒机的花盘上，找出直径为444毫米的圆周上的十四个等分点(图8-10). 解：查《等分圆周表》，当乳=14时，.=0.2224，代入公式an=knd,得 414=0.2224×444 =98.75(毫米).以98.75毫米的长为半径， 图8-10 顺次在直径为444毫米的圆周上截弧，就得到十四个分点， 3.利用圆规知直尺对于某些特殊的等分数，利用圆规和直尺就能等分圆周 (①)四等分座周：只要画出30° 4=90°的圆心角.因 此，画互相垂直的两条直径，它们与圆周的四个交点，就是四个等分点（图8-11）. D 图8-11 图8-12 (2)六等分圆周：半径为T的圆内接正六边形一边的长 au=2rsin180° 6=2r8sin30°=2r.号 -53= ==========第60页========== 因此，分别以一条直径的两个端点为圆心，”为半径，画两条弧与圆相交，那么所得的四个交点，连同直径的两个端点，就是六等分圆周的六个等分点（图8-12）. (3)十等分圆周：我们先分析一下，半径为”的圆内接 正十边形的边长是多少， 在图8-13中，已知圆0的半径OA=OB=r,AB是内接正十边形的 一边. 因为等腰三角形AOB的顶角 ∠40B=360 10=36°， 图8-13 所以 ∠0AB=∠0B4-180°-3 2 8.=72°. 面∠OAB的平分线交OB于T,那么 ∠0An-∠I4B-7号-36. 因此，△OTA是等腰三角形，就是说， OT-AT. 又因 ∠ATB=∠0AT+∠A(P=36°+36°=72°， 所以△AB里也是等腰三角形，就是说， AT=AB 由此可知， △OAB∽△ABT, 因而 OB:AB-AB BT, 就是 AB=0B.B'P, 已知OB=r, BT=0B-OT'=UB-AB=r-AB, -54— ==========第61页========== .AB2=(r-AB). 这是关于AB的一元二次方程.解这个方程，得 AB-V5-1 2 因此，半径为r的圆内接正十边形的边长等于√写一，。 根据以上的分析，可得到十等分圆周的画法如下：如图8-14，在圆0中画互相垂直 的直径KL和MN.取ON的中点 P为圆心，以PK为半径，画弧交OM 于Q.那么OQ就是圆内接正十边形 的一边. 事实上，设圆0的半径为”，那么OP-壹r,在直角三角形OPK中， 图.8-14 PK-0+0r=√+（合可-罗， .∴OQ=PQ-OP=PK-OP 所以用OQ的长去截圆周，可顺次截取十次而没有剩余， 得到圆周上的十个等分点. 把十等分圆周的十个分点每隔一点取一点，即可得到五等分圆周的 五个分点.把五个分点每隔一个如图8-16所示那样连接起来，就可以画出我们伟大祖国国旗上的五角 图8-15 星， 55- ==========第62页========== 练习 1,附图是万能铣床上的内齿轮平面图，在直径为86毫米的随上有四个等距离的孔，试画出各孔中心的位置， (第：题) 2.用直径为50亮米的圆钢镗出一个正六边形，要使废料最少，正六边形的边长应该是多少？ 3,附图是内燃机中一个零件的平面图.在直径为62毫米的圆周上，钻有五个大孔和五个小孔，这十个的中心是树匀分布的.怎样画出各孔中心的位置， (第3题) [2.25毫米.] 四.直线与圆弧、圆弧与圆弧的渎接 许多机械零件的轮聊图是由直线段和圆孤所构成的.例如收割机上三星板的轮廓（图8-16），就是由四条圆弧和两 *在视图上，半径尺寸前要加学母公。 -56→ ==========第63页========== 10 R10 R16 中18 10 10 80 图8-16 条直线段所构成.这些线条的接头处，必须由一线条平滑地过渡到另一线条，形成直线与圆孤或圆孤与圆弧的连接 1.直线与圆孤的连接当直线与圆相切时，直线在切点处平滑地过渡到圆弧.在这种情形下，我们说直线与圆弧在切点处连接.下面介绍几种直线与圆弧连接的画法 (1)画直线连接已知圆弧上的一点. 【例6】画如图8-17的鼓风机外壳轮廓图，已知它的圆形部分的半径为”， 解：如图8-18，以0为圆心，画半径为T的弧AB,与… 条直径交于点A.过A作AC⊥OA,那么AC就连接AB于 点A,其余部分可根据要求画出， 图8-17 图8-18 由第一章我们知道，过半径的端点且垂直于半径的直线 是圆的切线。从以上画法可以看出，AC是圆O上过点A的 -57 ==========第64页========== 切线.所以画直线连接已知圆弧于已知点，只要过已知点画孤的切线就可以了 (②)过圆外一点画直线连接已知圆孤.这就是要过圆外的一点，画直线与已知圆相切.如图8-19所示，根据圆的切线与圆只有一个公共点这一特征，可将直尺一端的边缘靠近 A,使另一端的边缘和圆只有一个接触点B,画出AB.AB 就是圆的切线。同样可以画另一条切线AO -2004 图8-19 图8-20 【例7】图8-20是稻麦两用收割机分禾装置上的鸡心盖板.落料时怎样在钢皮上划线？ 解：画直径为270毫米的圆和互相垂直的直径；定出点 A.过点A画圆的两条切线.划线便完成了， (3)画直线连接两条已知圆弧，在生产实际中，我们还 图B-21 -58- ==========第65页========== 常看到一条直线和两个圆都相切的情况.例如皮带轮的皮带与两个轮子都相切（图8-21），这样的直线叫做两个圆的公切线。公切线又分两种：当两圆在公切线的同旁时，这条公切线 叫做外公切线，如图8-22的AB和A'B;当两圆在公切线的 两旁时，这条公切线叫做内公切线，如图8-23的CD和CD, 0 0 图B-22 图8-23 画直线连接两条已知圆弧，就是画两个圆的公切线.公切线可用直尺画出.先将直尺边缘靠近两圆，经过调整，使它分别与两圆只有一个接触点，然后沿直尺边缘画出直线.这直线就把两条孤连接起来了（图8-24）， (1) 2) 图8-24 【例8】图8-26是水泵压盖的视图.试按1：20画出这图 画图步骤由读者自己叙述 (4)画圆弧连接两条平行线， 【例9】某体有场的环形跑道，是在两平行线AB,CD 59 ==========第66页========== 2纽10 0/ 图8-25 图8-26 的两端分别用半圆弧连接而成的.已知AB=CD=80m, AB,CD间的距离是30米.试按1：1000画出这个环形跑 道. 解：如图8-26，画长方形ABCD,使AB=80mm(80米的千分之-)，B0x30mm.求出AD,BC的中点O1,Og. 分别以O和O,为圆心，AD和BC为直径画半圆，那么AD 和IB)就是与两平行线AB和BC相连接的圆孤. (5)画已知半径的圆弧连接两条不平行的直线：如图 8-7,要画出半径等于已知 长T的圆弧，使它与不平行的 两直线1和都相切.很明显，所画圆弧的圆心必在与1的距离等于”的平行线欢上，也在与的距离等于”的平 图8-27 行线上，所以就是飞与的 交点.分别画与，相平行且相距为的直线和？，以它 们的交点O为圆心，以？为半径，就可以画出所要求的圆弧. 【例10】按1：1画出图8-28(1)所示薄板零件的轮廓图， 解：如图8-28（②），先画边框三角形ABC.分别画与直 线AB和AC距离为10毫米的平行线.以它们的交点O为 圆心，10毫米为半径画圆孤，连接边框三角形的两边.轮廓 ー60一 ==========第67页========== 46 10 36 (1) (2) 图8-28 图就完成了、 2.圆孤与圆孤的连接在生产实际中，还会遇到圆和圆相切的问题.两个圆只有一个公共点，就叫做两圆相切，公共点叫做切点，连接两个圆心的直线叫做连心线 两个圆相切，如果其中的一个在另一个的外面[图8-29(1)],叫做外切；如果其中的一个在另一个的里面[图8-29(2)],叫做内切. -7+T1 (1) (e) 图8-29 当两圆相切时，一条圆弧就在切点上平滑地过渡到另一条圆孤，形成圆孤与圆弧的连接.在外切的情形下，叫做处连接；在内切的情形下，叫做内连接 从图8-29可以看出，两圆相切，它们的连心线必经过切点；并且 -61 ==========第68页========== 当两圆外切时，圆心间的距离OO=”+r1当两圆内切时，圆心间的距离OO1=”一r1. 掌握了相切两圆圆心间的距离，我们就能正确地画出圆弧与圆弧连接的图形 ()画已知半径的圆弧连接一条已知圆孤. 【例11】画出图8-30所示的摇手柄. 解：摇手柄是轴对称图形，可先画一条中心线MV,并 画出图形的一半 21 1 图8-30 因为B©的半径是44毫米，而摇手柄最宽处的宽度是 40毫米，所以BC所在圆的圆心到MN的距离是44一20 =24mm,在MV上取一点G,过G画直线⊥MW,截取 G01=24mm,得到BC的圆心0. 因为AB与BC外连接，所以 0102=60+44=94mm. 又已知02到1的距离是35毫米，画和1平行且相距35毫米 的直线.再以O1为圆心，以94毫米为半径画弧交1于O4, O2就是AB所在圆的圆心. 因为OD与BO内连接，所以 0103=44-12=32mm. 以0，为圆心，以32毫米为半径画弧交MN于0a,0就是 -62一 ==========第69页========== CD所在圆的圆心. 以01,0,03为圆心，分别以44毫米，0毫米，12毫米为半径画三条圆孤，就得到摇手柄下半部的曲线部分 最后按设计要求画直线部分，并利用对称性画出上半部的图形 (2)画已知半径的圆弧连接两条已知圆弧， 【例12】画出图8-31所示零件的轮廓图. 解：按图注尺寸要求，定出圆心O和02，并分别画直径 为30毫米和20毫米的圆.设 O是所要画的AB所在圆的圆 12 心.因圆0分别与圆O1和圆 O外切，所以 001=12.5+15=27.5mm, 00=12.5+10=22.6mm. 80 分别以O和0，为圆心，以 27.5毫米和22.6毫米为半径 图8-31 画弧，那么两弧的交点就是连接弧的圆心O.以O为圆心， 12.5毫米为半径，就可以画出AB分别与圆01和圆0，外连 接.最后利用对称性，画出下半部的图形，完成轮廓图. (e 图832 ー63 ==========第70页========== 用类似的方法，可以画出已知半径的圆弧.使它和两条已知圆孤内连接，如图832(1)所示；或者和一条已知圆弧外连接而和另一条已知圆弧内连接，如图8-32(2)所示. 在实际应用中，有时还要求我们求出两圆弧连接点的坐标.我们来看下面的例题： 【例13】上海I型机动插秧机上秧爪滑道（图8-33）的 中心线，是由许多段圆孤和直线连接而成的.为了计算秧爪的运动轨迹，需要求出圆弧连接处的坐标.图8-34所示的是其中的两段圆弧：AB是以01(-30，-8.5)为圆心，r1= 189.927mm为半径的圆弧：BC是以02(17,5.8)为圆心，r=140.8mm为半径的圆弧、试计算连接点B的坐标. 分折轮 道 图8-3 图834 -64 ==========第71页========== 解：根据题意，AB所在圆的方程是 (x+30)+(y+8.5)2=189.927, (1) BC所在圆的方程是 (x-17)3+(y-5.8)3=140.82, (2) AB与BG的连接点B就是两圆的交点，因此只要解 (1),(②)两个方程所组成的方程组就可以了， 将方程(1)，(2)整理后得 1x2+y2+60x+17y-35100=0, (3) x2+y2-34-11.6y-19502=0. (4) 这是由两个二元二次方程所组成的方程组，可以通过两个方程的两边分别相减来消去二次项 (3)-(4),得 94x+28.6y-15598=0, 就是 15698-94x 28.6 即 y-615.385-3.287纺. (6) 这个方程与原方程组中任何一个方程所组成的方程组的解，就是原方程组的解.例如我们解（⑤）与(4)所组成的方程组： y=545.385-3.287x, x2+y2-34x-11.6y-19502=0. 仿照例3的步骤，解这个方程组，得到 1=151.7, 1≈2=46.7. 即两阗相交于一点，说明它们相切（内切），AB与心的连接 点，也就是切点B的坐标是(161.7,46.7). ー65 ==========第72页========== 练习 1,下图是农业机械上的短拉杆摇臂.按1：1画出图样来 40- 6.3 105 (第1黠) 2.说出图8-32的画法步 小 结 1,以点(a,b)为圆心，为半径的圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=2 当圆心在坐标原点时，圆的方程是x2+护= 2.方程Ax+Ay+Dx+y+F'=0表示一个圆，或者-一点，或者不表示任何图形 3。不在一直线上的三点确定一个圆. 4.直径所对的例周角是直角 5.直径为d的圆内接正n边形的边长是a,=din180 一；特别是： 4R,=5-R 6.利用“过半径的耀点，垂直于半径的直线是圆的切线”和“切线与圆只有一个公共点”等性质，可以胸以下各种直线与圆弧的连接： (①)画直线连接已知圆弧于弧上的一点； (2)过圆外一点画直线连接已知圆弧； (3)画直线连接两条已圆； (4)酒圆弧连接两条平行线； (5)画已知半径的圆弧连接两条不平行的直线. 7.利用啉圆相切时剑心距O01=r+1(外切)，或O01=一方1（内初)的性质，可以画以下各种圆弧与圆弧的连接： (1)画已知半径的圆弧连接一条已知圆弧； (2)画已知半径的國城连接两条已知圆弧， —66— ==========第73页========== 习题 1.一圆通过两点(1,3)和(5，一3)，并且圆心在直线y=2x-10上，求这圆的方程 2,车制小圆孔后，不能用内卡来检验小孔的直径，可用钢珠来测量，如图把直径10毫米的钢珠放在小孔上面，量得钢殊顶端与工件端面间的距离是8.63毫米.求工件上小孔的直径 (第3题) (第3题) 3.某一零件的图形和尺寸如附图所示，为了加工的需要，试算出弦 AB的长 4,已知三角形的三个顶点是A(-1,3),B(0,2)和C(1,-1).求 经过这三角形的三个顶点的圆的方程， 5.如图，画圆0的任-一半径OK,再画OR的垂直平分线LA交圆O 于A,验证AL近似于圆O的内接正七边形的一边 (经示：直径为d的圆内接正七边形-一边的长是-dai血9)180° (第5随) -67 ==========第74页========== 6。口小内大的深圆孔零件，它的内径不能用卡钳测宝，通常用钢珠来 测量.如图把直径为D和《的钢珠放入不中，用深度千分尺测得 两钢珠顶端到孔顶的距离分别是丑和h.试根据这四个数据求深 孔的直径D。. (第6题) 7,以已知长为半径圆弧，使它和一条已知圆通在弧上的已知点外连接 ·8,按1：2画出图8-16所示的三星板图.9。画出附图所示的吊钩轮罪图. 24 \s R48 R8 业 (第9题) -68 ==========第75页========== 第二节椭 圆 一、椭 圆 1,椭圆的标准方程行星绕太阳运动的轨道是椭圆；人造地球卫星运行的轨道也是椭圆；在机械工业上，有很多零件的轮廓线是椭圆形的 工人师傅在木板上画椭圆常用如下的方法：取一条长度 一定的线，把它的两端固定在两点F和F”处（图8-35），用笔 尖把这条线拉紧，使笔尖运动一周，就可以画出一个椭圆. 从上面的画法可以看出，椭 圆上任何一点P到两个定点F 和F的距离之和都等于定长，即 所用的那条线的长， 我们把在平面内到两个定点 图8-35 的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做它 的患点 下面我们来导出椭圆的方 P(,）程. F(e,o) 取经过焦点F和F的直线 为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图 图8-36 8-36). 设两个焦点间的距离是2c(c>0),那么F和F的坐标分别是(c,0)和(-c,0) 又设点P(红，y)是椭圆上的任意一点，它到两个定点F -69 ==========第76页========== 和F'的距离之和是定长2a(a>0).即 PF+PF'=2a, 根据两点间的距离公式， PF=V(-0; 同理， PE-V(x+ .√(c-c)+g+√/(c+c)2+y=2a.为了化去这个式子里的根号，先移项，得 √(-c)+y=2a-√(e+c)+y, 两边平方 (x-c)2+y2=(2a)2-2×2a(x+c)+gy2+(x+c)+y,整理后得 a2+cx-av+c)+y 两边再平方，整理后得 (a3-c)x2+ay2=a2(u2-c2). 两边都除以a(a2-c2),得 t2 ac=1. 这就是所求椭圆的方程 为了把这个方程化成更整齐的形式，我们先来观察一下 △PFF.由于三角形两边的和大于第三边，所以在△PFF 中， 2a>2c, 即 a>c. 因此，2-c2是一个正数.令a2-c2=”(b>0),代入上述椭圆方程，得 aty=1(4>6>0. 70一 ==========第77页========== 这个方程叫做椭圆的标准方程. 如果焦点F,F在y轴上，并以F,的垂直平分线为x轴，即假定两个焦点的坐标分别是(0，c)和(0，一c),又动点到两个焦点的距离之和仍设为2a,那么同样可 P(他，切 以求得椭圆的方程： +(ab> 其中b2=a2-c2(图8-37).这个方程也是椭圆的标准方程， 图837 2.椭圆的形状下面我们根据椭圆的标准方程 +-고 (1) 进一步讨论椭圆的形状。 (1)在方程(1)中，当y=0时，=士a;当南0时，y=土b.所以这椭圆交轴于A(a,O)和A'(-4,0)两点，交y轴于B(O,b)和B(0,-b)两点.A,A',B,B四点叫 B0,。一 做椭圆的顶点（图8-38）. 不难看出，线段A'A的长 是2a,线段BB的长是 4'(-4,0 (-c, O이 F(e. 0)(G, 0)2b,并且A'A>BB.我 们把焦点所在的线段A'A 5B0, 叫做长轴，它的-…半叫半 图8-38 长轴；另一条线段BB叫 做短轴，它的一半叫半短轴。两轴的交点叫做椭圆的中心 (2)在方程(1)中，如果以一代替x,方程不变，也就是椭圆上有点(c,),那么（一，y)也在这椭圆上.这说明椭圆 ！ー ==========第78页========== 关于短轴对称.同样，以一y代替y,或者以一，一则代替,y,方程都不变.这就是说，椭圆关于长轴和中心都是对称的、 (③)由方程(1)可得 g=±、a, =±8V6-可. 从以上两个式子可以知道，当≤a时，y才有实数值；当y≤b时，父才有实数值.因此，这椭圆是在四条直线：=，如=一a,y=b和y=一b所围成的长方形内，见图8-38. (4)从图8-38还可以看出，椭圆的半短轴b和半长轴a6 的比值：愈小，椭圆就愈肩平， 由b”-a2-c2得 。---(. 我们把。叫做椭圆的离心率，通常用。来表示。于是 b=1-g, 因为c0,所以取 b=5. 代入(2)，得 a=10. 因此，所求椭圆的方程是 2y2 26+1001. 根据这个方程，可画出如图840所示的椭圆. 在熟悉了椭圆的标准方程后，如果遇到形如 Ax+0y=K 的二元二次方程，其中A,O和K的符 0 号相同，那么我们可以肯定这方程表示 一个椭圆，因为它可以化成 2 、 圈840 A 0 的形式。还可以蜘道。当答>台时这方程表示熊点在：轴 -74 ==========第81页========== 上的麓照：当紧<名时，这方程表示焦点在y箱上的精隔 【例3】我国于1971年3月3日发射了第二颗人造地球卫星.已知在卫星运行的椭圆轨道上，近地点离地面266公里，远地点离地面1826公里.地球的半径是6370公里.地球的中心位于卫星运行椭圆轨道的一个焦点上，选取近地点和远地点的连线为x轴，并使y轴通过椭圆轨道的中心，求轨道的方 1826= +200 程. 图8-41 解，如图8-41，近地点到地球中心的距离 AF=6370+266=6636(公里)： 远地点到地球中心的距离 A'F=6370+1826=8196(公里). 而 AF-0A-UF-a-c, A'F=0A'+OF-a+c 就是 a-c=6636, a+c=8196, 解这个方程组，得 0=7416, 【c=780. .b=√a2c2=74162-780丽=7376. 因此，我国发射的第二颗人造地球卫星的运行轨道方程是 75- ==========第82页========== 2 7416+7376-1. 8.椭圈的参数方程已知椭圆的长轴2a和短轴2b,可 利用圆规和直尺画出这个椭圆，下面介绍这种画法： 以原点0为圆心，分别以和b为半径，画两个同心圆（图8-42).过圆心0任意画一条射 线，分别交大圆于M,交小圆于 N.过M作直线平行于y轴：过 图8-42 N作直线平行于x轴.设这两 直线相交于点P(,),并设射线与轴的正向的交角为单. 这时点P的横坐标就是点M的横坐标x=aco阳；点P的纵坐标就是点N的纵坐标y=bsinp, 当角平变动时，点P的坐标 x=acosP, (1) ly-bsino (2) 也随着变动.令角中由0变到2x,求出动点P的一系列的位置，然后用平滑的曲线把这些点连接起来。 我们来证明，点P的轨迹是椭圆. 事实上，由 -c08p,%-sinp,a 可得 +y cosp+sin, 就是 ー76一 ==========第83页========== 所以用上面所讲的方法画出的点，在这个方程所确定的椭圆上 由此可知，长轴为2a,短轴为26的椭圆，也可用两个方程(1)和（②）来表示.象这种用第三个变数来表示x和则的方程叫做参数方程，第三个变数称为参数.方程()，（②）就是椭圆的参数方程，其中中是参数 上一章飞机空投物体的轨迹方程 优=t, 1 g=之S 溢洪道水质点挑射的方程 m=Tol cosa, 1 y=sina-之5t, 都是以t为参数的抛物线参数方程，将（消去，就得到一般的抛物线方程. 练习 1,已知两焦点间的距离为6厘米，动点到两焦点的甄离之和为8厘米，用工人师傅拉线的方法画椭圆 2,采上题中的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，求这个椭圆的方程 3.求下列各椭圆的半长轴和羊短轴的长、焦点的坐标和离心率，并画出它们的图形： ④6+6- (2)25x2+9y2=100; (3)x2+25y-25; (4)2x2=1-y2 4.已知椭圆的长轴和短轴分别等于12厘米和9压米，用回规和直尺迴出这个圆 2.6+号-1.3.④a=10,6=6,80,(-8,0,-言9 -77一 ==========第84页========== @a=9,b-2,(0,》,(,-》e=;a=5,b=1, 20,（-v,0,-,0a-1,6-里5 o号)o,)=号] 二、坐标轴的旋转 在第七章中我们已经看到，利用坐标轴的平移，能使曲线的方程化为新坐标系中较简单的，并且是我们所熟悉的方程. 除了平移坐标轴外，还可以旋转坐标轴，构成新的坐标 P(, 系 设O:和O则是原来的坐 标轴，将原坐标轴绕原点O按 逆时针方向旋转8角后，形成新的坐标轴Ox和Cy,如图8-43所示. 图8-43 设点P是坐标平面上的 任意一点，它在旧坐标系中的坐标是(c,y),在新坐标系中的坐标是(x',).画PM⊥Ox,PM'⊥Ox.设∠M'OP=a.那么 =OM=OP cos(a+9) =OP (cosa cos0-sin asin 0) -OP cosa cos0-OP sin a sin0, 但 OP cosa-OM'=',OP sina-M'P=. .'a='cos0-y'sin 6. 。-73一 ==========第85页========== 同样， y=MP=OP sin(a+0)=OP (sin a cos0+cosa sin=OP sin a cos0+OP cosasin0. 仍以OP cosa=x',OP sina=y代入，得 y=y'cos+x'sin 0. 因此，在坐标轴按逆时针方向旋转日角后，以点P的新 坐标(x,y)表示它的旧坐标(c,y)的转轴公式是 x=a'cos0-y'sin, y=a'sin0+y'cos0. 如果把(I)式中的第一式乘以cos8,第二式乘以sin6,再相加，那么有 acos6+sin0=x'(cos20+sin20), 就是 a'=acos04y sin0. 把(I)式中的第一式乘以一sin8,第二式乘以cos0,再相加，那么有 -asin0+ycos=y'(sin20+cos26), 就是 y'--3in0+y cos6. 这样，我们又得到以点P的旧坐标(x,)表示它的新坐标(x,)的转轴公式： ()[b品2 【例4】如果将坐标轴绕着原点按逆时针方向旋转60°， .… 点P(1,√3)的坐标将变成什么？ -79 ==========第86页========== 解：这里，已知点的旧坐标是=1，yx3；坐标轴转 过的角0=60°.把它们代入转轴公式 1 (),得到这点的新坐标 x'=1c0s60°+/3sin60° 60 -1x豆+8x-2 1 y=-1sin60°+√/3cos60° 图8-44 -1x+Vg×-0. 所以点P的新坐标是(2,0)，参看图8-44， 练习 1,把坐标轴绕着原点按逆时针方向旋转45°后，某点在新坐标系中的坐标是(2，一1).求这点在旧坐标系中的坐标 2.已曲线的方程是5x2-xy+52=32.将坐标轴绕首原点按逆时针方向旋转45”，求这曲线在新坐标系中的方程， 示：以0=45°，应用公式(I)代入方程.) B.W②V 2’2 .2.+4划-16，] 三、多边形切削的数学原理 作为转轴公式在车工实践中的一种应用，下面介绍多边形切削的数学原理， 过去加工多边形工件，一般都使用刨床和铣床，加工效率跟不上生产发展的需要，工人同志遵照毛主席关于“独立自主、自力更生”的教导，发扬了敢想敢干的革命精神，经过反复实践，把普通车床进行简单改革，成功地创造了多边形切削专用机床.这种机床结构简单，使用方便，生产效率高，一般工厂都可自行改装 -80- ==========第87页========== 我们以车削正方形为例，来说明这种机床的工作原理如图8-45所示，把刀盘夹紧在车头上；工件由卡盘夹持，使工件的轴线平行于刀盘的轴线.加工时利用齿轮系统，使刀盘的旋转带动工件作相同方向的旋转，并使刀盘与工件转速的比是2：1（图8-46）. 刀盘 车卫 车头 工件 三爪卡盘 图8-45 图8-46 当刀盘在同一直径的两端装上两把车乃时，工件就能被切削成近似的正方形.为了从理论上证实这一点，我们来看刀尖在工件所在的平面上运动的轨迹， 在图846中，0表示工件中心的位置，C表示刀盘中心 的位置，刀尖到刀盘中心的距离为B,它到工件中心的距离 为(.取工件的中心O为原点，直线OC为x轴，建立直角坐 标系.并设切制开始时，刀尖A 和B都在x轴上. 现在来看切削过程中某一解时的情况.设想坐标系Oy随同工件按逆时针方向旋转了角a,到达坐标系Oxy的位置（图847).这时CA在坐标系Oy 图B-47 ==========第88页========== 中绕中心C旋转了2a的角. 先求点A在坐标系Oy中的坐标，画AT垂直Ox.那么 a=OT=0C-TO=R+1-Rcos2a=2Rsina+1, y=TA =-Rsin 2a=-2R sin a cosa. 再求点A在坐标系Oxy中的坐标.由于坐标系Oxy是坐标系Oy按逆时针方向转过角a而得到的，所以将c=2Rin2a+l,y=-2 R sin a co8a和8=a代入转轴公式 (I): 'cosa++y sin a,y=-asin a+y cosa, 就可得到点A在坐标系Ox'y中的新坐标 '=(2R sin2a+l)cosa-2R sin2a cosa=lcosa,=-(2Rsina+l)sin a-2Rsin a cosa -(2R+)sin a. 这两个式子指出刀尖A在坐标系Ox矿中的位置.它们也就是刀尖A在坐标系Ox则中的运动轨迹的参数方程，以：为参数. 为消去a,将上两式两边分别平方，得 p-cosa, (2R+0产=in2a. 两式等号两边分别相加，即得 22 y'a +2R+产=1， 由此可见，刀尖A在工件所在平面上的运动轨迹是一个 -82一 ==========第89页========== 椭圆，它的半长轴是2R+乙，半短轴是乙，并且长轴在坐标轴 0则上（图8-48）. 用同样的方法，可以求出刀尖B在工件所在平面上的运 动轨迹，也是一个椭圆，它的方程是 @中咖+若-1，x'3 它与刀尖A的运动轨迹的差别仅在于长轴落在坐标轴Ox上 图848 图日49 随着进刀的过程，刀尖与工件中心的距离！逐渐缩短于是工件的外形便切削成近似的正方形.在图8-49中我们 看到，切削后工件的轮廓线DEFG是由四段椭圆弧所围成， 并不是真正的正方形.但是当刀尖到刀盘中心的距离R比 起【来大得多，也就是椭圆的长短轴相差很大时，这两个椭饲就很扁平，这四段弧就相当平直，以致在实用上可以看作是正方形的四条边了， 按照同样的道理，如果刀盘上装上三把车刀，并且使它们彼此间隔10°，刀盘与工件的转速的比仍为2：1，那么工件就 -83- ==========第90页========== 被切削成近似的正六边形.如图8-0所示。 多边形切削的数学原理，本质上就是应用曲线弧来代替直线段.恩格斯曾经指出：“高等数学的主要基础之一是这样 一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事。”我国工人同志正是应用这个思想，以弯曲程度很小的曲线段来近似地代替直线段，从而在生产斗 图8-50 争中作出了新的贡献. 小结 1.在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫微椭圆，两个定点叫做它的焦点。 2设椭圆的中心在原点，两个焦点间的距离是2，椭圆上任一点到两个焦点的距离的和是2，那么 +若 (1)当焦点在x轴上时，椭圆的方程是矿 ②)）当焦点在y箱上时，痛圆的方程是苦+器-1这里，的=a一c2.这两个方程都叫做椭圆的标准方程. 3.椭圆是一条封闭曲线，它有两条互相垂直的对称轴，两轴的交点叫做椭圆的中心；两个焦点在一条对称轴上，与中心等距离 4.方程A2+Cy=K当A,C和E的符号相同时，表示一个椭圆 5.半长轴为a,￥短轴为b的椭圆的方程，可表示成参数式 x=acosp, y=bin平： 其中0≤甲<2x。 =84一 ==========第91页========== 6,转轴公式： ='cos0-y'sine, y=x'sin0+y'cos; x=xcos日+ysin0, ()ly=-xsin日+ycos9. 在这两组公式中，(x,)是点在旧坐标系中的坐标，(x',是这一点在新坐标系中的坐标，日是旧坐标系按逆时针方向旋转到新坐标系的角度 习题 1,求中心在原点，且适合于下列条件的椭圆的方程，并画出它们的图形： (1)长轴和短轴分别等于16和8，焦点在x轴上； (2)焦点间的距离是8，离心率是0.8，焦点在y轴上； (3)短轴的长是4，一个焦点的坐标是（⑤，0）； (4)长轴等于20，离心率是0.6，焦点在x轴上. 2.彗星“紫金山一号”是我国紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，如图所示。测得轨道的近日点到太阳的距离是1.486天文单位；远日点到太阳的距离是5.563天文单位.求它的运行轨道方程(1天文单位1.5亿公里). 日点 太用 4-5.563 (第2题) 3.椭圆绕着它的长轴旋转一周，形成椭球面。椭球面的反射镜面也有一个十分重要的光学性质，就是从它的一个焦点发射出去的光 85一 ==========第92页========== 线，经过椭球面的反射，必然会聚集到另一个焦点上（附图）.八点 七五毫米电影放映机上的聚光灯泡，它的反射面BAC(如图)是由 韩圆绕它的长轴旋转而成的椭圆镜面，灯丝在它的-一个焦点F上. 已知灯丝到反射面顶点的距离F4是1.5厘米，过焦点F所作垂 直于长轴的弦是4.6厘米.为了使电影机片门获得最强的光源， 片门应放在另一焦点上，求这点与灯丝F间的距离 (第3题) 4。锅炉上人孔调的截面是椭圆，它的长短轴的尺寸见附图〔单位是里米)，按图示的坐标系求极口曲线的方程，并画出图形。 40 48 (第4匙 (第5题) 5,由射击学原理知道，当脸准目标后不再调整就进行射击时，射弹散 布区城是一个赫圆（见图），叫做“散布椭圆”.长轴AB的号如OB 叫做高低公算偏差，短轴CD的言如0S叫做方向公算偏差。已 -86- ==========第93页========== 知某个散布椭圆的方程是 2500x+4002=1000000. 求高低公算偏差和方向公算偏差 6,某隧道的断面如附图所示，拱题ABC是椭國，ADC是圆弧，以 椭圆弧和圆弧的公共中心0为原点建立直角坐标系.试按图上所标尺寸 (单是厘米)，求圆供AD0的方程， 椭罚供ABC的方程和离心率. 7.(1)地球的子午线为椭圆形，它的两 半轴的比为299 300·求地球子午 线的离心率 (②)地球的运行轨道是一个椭圆，太阳在一个焦点上，从太阳到长轴 (克6题 的两个瑞点的距离分别约为147.5和152.5百万公里。求这轨道的离心事。 第三节双曲线 一、双曲线 远洋轮在海洋中航行时，可利用仪器接收专为导航而设 置的无线电发射台发来的信号.如图8-5L,设F和”是两 个发射台.如果船P到两个发射 台的距离不等，那么它们同时发出的信号到达船上的时刻就有先后.船上所装的仪器，能够直接在 读数栏里显示出同时从F和”发 来的信号到达船上的时间差.由于无线电波的传播速度是确定的 图8-51 ー87 ==========第94页========== (3×105公里/秒)，因此，知道了信号到达的时间差，也就能知道船舶离开两个发射台的距离差 现在我们来看，当船P离开F和P的距离之差为已知， 例如400浬(1浬=1.852公里)时，它可能在哪些位置上？当 然，它的位置并不是唯一确定的.因为它可以距F300裡，距 700浬；也可以距F500浬，距F900浬，等等.我们把这 些可能的位置P,P2,…用平 滑的曲线连接起来，就得到图8-51中右边的一条曲线. 另一方面，船P也可能距 发射台F比距发射台F远400 浬。这样，船P的位置又可能 在图8-51左边的一条曲线上. 这样的两条曲线总起来，就是本节所要讨论的双曲线. 图8-52 利用双曲线的性质，可以 精确地测定船舶航行中所在的位置.这种方法叫做双曲线时差定位法 在实用中，一般利用三个信号台所发出的信号，得到两两相交的两组双曲线，再采取一定的技术措施，即可定出船所在的位置（图8-52）. 1.双曲线的标准方程一般地说，在平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹，叫做双曲线，两个定点叫做它的焦点、 下面我们来导出双曲线的方程， 取经过焦点F和F的直线为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图8-3）. 88 ==========第95页========== 设两个焦点间的距离是2c(c>O),那么F和F的坐标分别是(c,0)和(-c,0) 又设P(x,y)是双曲线上 的任意一点，它到两个焦点F P(, 和的距离差的绝对值是定长2a(c>0),即 PF-PF=±2a.根据两点间的距离公式， 图8-53 PF-V(a+c)y 同理， PF=V(a-c)+ 所以 √(z+c+-√(e-c)+y=±2a利用上节导出椭圆标准方程类似的方法：移项， √(r+c)2+=土2a+(c-c)+y, 两边平方， (c+c)+y2-4a2±4aN(c-c)2+y+(e-c)2+y,就是 cx-a2=士a(e-c)+, 两边平方， (g-a2)2=a2(e-c)2+a2y2, 就是 (c2-a2）x2-ay2=(c2-a）a2, 脚得 a -89- ==========第96页========== 因为2a<2c.即&0),代入上面的方程，得 日-茶-1>0，>0. P( 这个方程叫做双曲线的标准方程 假设焦点F(O,c)和F(O,一c)在y轴上（图8-54），动点到两焦点的距离之差为24，并且仍以b”表示c2一a2,那么可求得焦点在y轴上的双曲线的方程： c 图8-54 4-8形=1. 2.双曲线的形状 下面根据双曲线标准方程 등-1 (1) 来讨论双曲线的形状 (1)在方程(1)中，当y=0时，您一土a.所以这双曲线交如轴于点4(a,0)和A(-a,0).当x=0时，-器=1，即则=-.y为任何值时，都不可能等于负数，所以适合于这个方程的值不存在.因此，这双曲线与y轴不相交.点 A和A'叫做双曲线的顶点（图 8-65).线段A'A叫做双曲线 的实轴，它的长等于2a,在y轴上取两点B(0.b)和B(0, 一b),线段BB叫做双曲线 图8-55 90一 ==========第97页========== 的虚轴，它的长等于2b.两轴的交点叫做双曲线的中心 (2)在方程()中，如果以-x代替，或者以一y代替,或者以一，一同时代替多，y,方程都不变，所以这双曲线关于实轴、虚轴和中心都是对称的 (3)由方程(1)，得 b-a. g= 从这个式子可以知道，只有当|x≥a时，y才有实数值.所以这双曲线完全处于两条直线x=4和x=一a的外侧. (4)又由方程(1)，得 =土分√+0. 从这个式子知道，可取任何值，并且当y的绝对值增大时，红也取得越来越大的绝对值.所以这双曲线向左右两侧无限伸展。 (5)为了进一步了解双曲线的伸展趋势，我们把 y-tvゴa 化成 从.上式可知，当公的绝对值无限增大时，二就趋近于0.因此V1-s就趋近于1，从而上式所表示的双曲线接近予 直 士。， 但它们又不会相交.我们把这两条直线 91 ==========第98页========== b y=土 训做双曲线的渐近线 如果我们作出直线无=4，您=一g,=b和y=一b所围成的长方形，再作出它的两条对角线，很明显，这两条对角线的方程是影=士：，把它们延长，我们就得到双曲线的渐 近线（图8-55）， 我们常利用双曲线的渐近线，把双曲线的形状近似地画出来 (6)从图8-55中还可以看到，双曲线的虚轴的一半6和 实轴的-半a的比值名愈小，双曲线的张口愈小比值&愈 大，双曲线的张口就愈大 由b”c2-a2可以得到 Bvoa e 和精圆一样，我们把日一合叫做双曲线的商心率。于是 b-√0-1. 因为c>a,所以双曲线的离心率e>1. 这样，从会-√了可以看出，当。的值愈大时，名的 值也愈大，双曲线张口愈大.反过来，当g的值愈小，小到接 近于】时，吾的值就愈接近于0，双曲线的张口也就愈小， 如果a=b,那么这样的双曲线叫做等轴双曲线。它的方程可以写做 -=a 92 ==========第99页========== 【例1】画出双曲线9-r2=36,并且求它的渐近线的方程和焦点的坐标. 解：把所给的方程化为标准方程.各项都除以36，得 -- (1) 所以a=2,b=3. 画出以x=土2，y=士3为边的长方形、它的对角线所在的直线就是双曲线的渐近线，它们的方程是 y-昌x和y-3 因为 cma+-4+9m13 所以两个焦点的坐标是（√13,0）和（一√13,0）. 由方程(1)得 y士8、-4. 根据这个关系式，在≥2的范围内算出几组x和y的对应值，如下表 ±3.4±5.2±6.9 在直角坐标系内按上表定出各点，用平滑的曲线顺次连结各点，再利用双曲线的对称性和渐近线的性质，就可以画出如图86所示的双曲线的两支。 图8-56 93- ==========第100页========== 【例2】已知双曲线的中心是原点，焦点在！轴上，两焦 点间的距离是8，离心率是吕，宋这双曲线的方程，并面出 图形 解：设所求的双曲线的方程是 等-云1 因为e=二-13 =,而c=交×26=13，所 1313 05 即 a=5. 又 b=√c-a=√132-=√144=12.因此，所求的双曲线的方程是 一-고 它的渐近线的方程是（注意，这里的焦点在y轴上） リー士음说，5 就是 5 划=及尔和y=一记龙. 根据求得的双曲线的方程，可画出如图8-7所示的图 形。 在熟悉了双曲线的标准方程后，如果遇到形如 Ax2+Cy=K 的方程，其中A和C的符号 图857 相反，并且K≠0，那么我们 -94 ==========第101页========== 可以肯定这方程表示双曲线，因为它显然可以化成双曲线的标谁方程。 【例3】双曲线型自然通风塔的通风筒，是双曲线绕它的虚轴旋转而成的壳体[图8-58(1)].它具有接触面大，风的对流好，冷却快，又能节省建筑材料等优点，某一通风筒的最小半径是11.61米，上口半径是13米，下底半径是24.66米，高56米.求轴截面的双曲线的标准方程[图8-58（②）]. H13, A(11.61,0)6 K(24.58a (1) (2) 图8-58 解：在图858(2)所示的坐标系中，风筒截面双曲线的方程应当是 3-希-1 因为点A(31.61,0)是双曲线的一个顶点，所以 a=11.61.又因为丑(13)和K(24.56,y)都在双曲线上，所以有方程组 132 1.6器=， 24.562 11.61-浮-1 ー95 ==========第102页========== 就是 [8h=立6V8-1.6-0.5036, b (94=-11.衍√24.68-11.6=-1.864h 由于风筒的高是5米，就是说，1一2=55，所以 0.6036b-(-1.864b)=65 解这个方程，得 b=23.23. 所以风筒截面双曲线的方程是 2 11.6-2s.28-1, 工人师傅根据这个方程，就可以画出哉面双曲线的图形，随后再进行施工， 练习 1,双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，而且两焦点间的距离为6厘米，动点到两焦点的距离之差为4厘米，求这双曲线的方程，2,求下列各双曲线的实轴和虚轴的长、焦点的坐标、离心率和渐近线的方程，并画出它们的图形： (1)49-25y2=100: (2)x2-y2=G4; 4 (3)82-3x3+48=0: (4)车-=1， [1.￥-等-12.a2z-10,2b-4W,0,(-V®o,은，-+중 (2)2a=16,2b=16,(8√2,0)， (-8V√②，0)，e=√2，y=士；(3)2a=8,2b=2W6,(V22, 0,(-v2,o,-里，g-±(4)2a=2,2b=4,0,5),0,-V5,e=5,y=±号.]—96 ==========第103页========== 二、圆锥曲线 在第七章和本章中，我们从点的不同运动形式出发，分别研究了抛物线、椭圆（圆作为椭圆的特例）和双曲线的特殊本质，但它们又是互相联系和互相统一的. 如图8-9的曲面是一个圆锥面(上下都可无限延伸).它的每一腔， 线 可以看成是一个直角三角形，如图中 的△OAC,绕着它的一条直角边0 抛物 旋转一周而成.OC所在的直线叫做 圆锥的轴.直角三角形的斜边O4叫 做圆锥的母线。用-一个平面去截圆锥面，可以得到下面各种曲线： 图8-59 (1)当平面只和圆锥面的一腔相截，并且不和母线平行时，截得的曲线是椭圆（当平面与圆锥的轴垂直时，截得的曲线是例). (2)当平面和例锥的某一条母线平行时，截得的曲线是抛物线. (3)当平面和圆锥面的两腔都相交时，截得的曲线是双曲线 由此可知，抛物线、椭圆和双曲线都是圆锥面被不同位置的平面所截得的交线.因此它们统称为圆锥曲线 由前面我们知道，园锥曲线不论在直角坐标系中的位置怎样，它们的方程都是不同形式的二元二次方程.这是圆锥曲线的共性在方程中的反映。我们通常把圆锥曲线又叫做二次曲线 -97 ==========第104页========== 天体和宇宙飞行器运动的轨迹都是圆锥曲线。太阳系的行星和人造地球卫星运转的轨道是椭圆，有些彗星的轨道是抛物线或双曲线的一部分， 在发射宇宙火箭时，如果火箭的飞行速度等于第一字宙 速度(7.9公里/秒)，那么它的轨道是绕地球的一个圆；大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度(11.2公里/秒)时，轨道是椭圆：等于第二宇 图8-60 宙速度时，轨道是抛物线：大于第二 宇宙速度时，轨道是双曲线的一支（如图860） 由于速度大小的变化引起轨道曲线形状的变化，从圆转化为椭圆、抛物线、双曲线，速度数量的变化引起了轨道曲线质的变化， 由上述可知：抛物线、椭圆、双曲线，它们既是互相对立，互相区别，各有其特殊的本质，但在一定条件下，它们义是互相联系，互相转化，互相统一的. 小结 1,在平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做它的焦点. 2.设双曲线的中心在原点，两个焦点间的距离是2，双曲线上任 一点到两个焦点的距离的差是2a,那么 当焦点在：轴上时，双曲线的方程是器一芳-山(②当焦点在y轴上时，双曲线的方程是二-器-1，3。双曲线有两条互相垂直的对称轴，它与两个焦点所在的一条对称轴（称为实轴）相交，与另一条对称轴（称为虚轴）不相交；两轴的交点叫做双曲线的申心；过中心有两条相交直线构成双曲线的渐近线 一98 ==========第105页========== 4,方程4x2+Cy=K,当A,C的符号相反，并且E中0时，表示双曲线。 习 题 I,求中心在原点，且适合于下列条件的双曲线的方程，并画出它们的 图形. (1)焦点间的距离等于14，顶点间的距离等于12，焦点在x轴上；(②)经过点(2，一5)，焦点在y轴上，实轴长的一半等于2V5;(③)离心案等于1.4，焦点在轴上，实轴长的一半等于5； (4)一条渐近线的方程是3x一2y0,一个焦点是（一√13,0），2。在加工校直机的双曲面滚轮时，随时要用样板去检验，做样板需根据图纸上的数据，先求出双曲线的方程，然后准确地画出双曲线.附图是校直机上某一型号的双曲面滚轮断面图样.试按图示尺寸求它的标准方程， 122.6 高云 .160 (第艺颐) (第3题) 3,附图是另一型号的双曲面滚轮，它的主要数据如下：滚轮宽度是1=306毫米；偏角（渐近线和虚轴的夹角）ā=20°；最小直径是d=122.6毫米，求断面双曲线的方程. 4.某火力发电厂修建-一座双曲线型钢筋混凝土冷却塔，塔高29米， -99一 ==========第106页========== 塔筒喉部到塔顶的距离是5米，塔筒喉部圈的半径是8米，塔底圆的半径是14米。求塔简断面双曲线的方程， 4 (第4题) 5。试求与双曲线号-盖-1有共同的南近线并且通过点(-3， 2√3)的双曲线的方程， 100- ==========第107页========== 第九章其他几种常用曲线 第一节等速螺线 一、什么是等速螺线 “农业的根本出路在于机械化”，在毛主席的革命路线拧引下，我国的农业机械化正在迅速发展。在农机厂里的车床上，可以看到如图9-1(1)所示的夹工件的夹具，叫做三爪卡盘.三爪卡盘上有三个卡爪，爪端与圆心等距离.当我们用扳手扳动小圆锥齿轮时，三个卡爪同时对卡盘中心作等距离的移动，从而能夹紧或松开工件，并保证圆形工件的轴线自动对准卡盘轴线，既迅速又平稳. 三爪卡盘的三个卡爪，为什么能对卡盘中心作等距离的移动呢？ 打开三爪卡盘可以看到，原来里面有一个螺纹圆盘，它很象一盘蚊香固定在一块圆板上，三个卡爪分别由螺扣扣紧在螺纹圆盘上图9-1（②）].圆盘的反面是圆锥齿轮[图9-1(3)],扳动小圆锥齿轮时，就能使圆盘转动.圆盘转动时，螺纹随圆盘而转动，扣在螺纹上的三个卡爪就在上面等距离地径向移动.可见，卡爪等距离地径向移动这一现象，完全与圆盘上的螺纹形状[图9-1(4)]有关 这种螺纹形状的曲线，我们平时也能看到，例如唱片上的 ー101 ==========第108页========== 三爪卡盘 卡バ ン卡水 小医雠齿轮 (1) (2) 小圆 轮 (3) (4) 图9-1 螺纹，钟表和仪表中的游丝（图9-2），某些水泵的外壳曲线(图9-3)，机械上的某些凸轮曲线（图9-4）等等，这种形状的曲线就是等速螺线， 下面我们从等速螺线的形成，来看三爪卡盘的三个卡爪作等距离移动的原理 设射线OM上有一动点P.当射线绕O作匀速旋转时， 点P在OM上同时作匀速直线运动.这样，点P的运动轨 迹就是等速螺线（图95）.OM每转过一周（即2x孤度），OP 增加（或减少）的距离叫螺距，图9-5中，点A是点P的开始 位置，点B是OM转过一周后点P的位置，AB就是螺距. ー102一 ==========第109页========== 图92 9-3 图94 图95 由等速螺线的形成可以看到它的一个重要特性，即∩M 绕O转动的角度均匀增加时，点P到O的距离也均匀增加 (或减少).因此，当三爪卡盘上的圆盘转过一定角度时，就相当于三个卡爪分别在等速螺线上转过了相同的角度，所以它们与中心增加（或缩短）了相同距离 等速螺线的上述特性，常 凸纶 被用来设计机械中凸轮的工作 从动任 面.凸轮是机械装置中的重要部件，它能使轴的旋转运动转化为从动杆的直线运动（图 工作面 9-6) 图96 现在我]利用等速螺线的特性来画它的图形。 -103一 ==========第110页========== 【例1】图9-7是一个凸轮，它 的工作面曲线是等速螺线.轴心O到 22Z7 轮廓边缘的最短距离0A=30mm,螺距AB=72mm,试画出这个凸轮的工作面曲线. 图97 解：螺距72毫米，就是图9-5中 0M绕0旋转2π弧度后，OP增长了72毫米.如果把2π弧 度等分为若干份，例如2份，那么每等分为言孤度。由等速 螺线特性可知：ON绕O每旋转（即)弧度，OP相应地 增知智-=6mm.因此得到如下画法（图9-8）： 图98 (1)画射线O,在Ox上依次截取OA=30mm,AB72mm; (2)以0为圆心，0A为半径画圆，这个圆叫做基圆： (3)按相同份数，等分基圆的圆周和线段AB(图中分为 12等分)，分别得到分点A1,A,…,AB,Bs,…,B 一104- ==========第111页========== (4)连接0A1,0Ag,…,0A1,并以0为圆心，分别以 0B,OB2,,OB1:为半径画弧，依次分别交0A1,0A,…, OA11的延长线于P,P,,P ()用平滑的曲线依次连接A,P1,P,…,P1,B,就 画出了这个凸轮的工作面曲线，它是等速螺线在0~2π弧度间的一段. 由此可知，这个凸轮在工作时，它每转过孤度，从动杆 均匀地推出6毫米，也就是随着凸轮的匀速转动，从动杆就作匀速直线运动。练习 附图是三爪卡盘圆盘上的等速螺线的螺纹.已等速螺线起点到例盘 的中心距离)A为48毫米，卡盘每转一周，螺纹推动卡爪径向移 动（即螺距AB)12毫米，试国出这条等速螺线（画二圈）. 二、极坐标系 1.校坐标系在直角坐标系中象二次曲线那样建立等速螺线的方程是比较困难的。为此，我们引进新的坐标系—一极坐标系. 我们已经看到，等速螺线上点P的位置，是由OM绕O -105一 ==========第112页========== 旋转的角度B和点P到O的距离来确定的.这就是说，用一 个角度和一段距离也能够确定平面上一点的位置.这种方法也广泛应用于生产实践中.例如，在小平板仪测量中，常用的射线法，就是脯一个方向画一条射线，再量出一段距离来定一点；在军事上，炮兵射击目标时，通常是瞄准目标的方向和定出离炮位的距离等. 这种用距离（长度）和方向（角度）来确定平面上点的位置的方法，叫做极坐标法 在平面上取定一点0，叫做极点（图9-9），从0引一条射线Ox,叫做极轴，再确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正)，这样就建立了一个极坐标系。 ·M(p,) P(》 010 图99 图9-10 设M是平面上任意一点，它的位置可以由OM的长度 p(p0)和以极轴(m为始边、射线OM为终边所成的角9完全确定.(P,)就是点M的极坐标，记作M(p,).p叫做点 M的极径，叫做点M的极角 【例2】在极坐标系中，画出极坐标(3，罗)所确定的点 解：使极轴O:绕0沿道时针方向转驾，得到射线OM (图9-10).在OM上取一点P,使OP=3(单位长度的三 -106- ==========第113页========== 倍)，这样所得的点P,就是所求极坐标为3，罗)的点. 在图9-11中，A,B,C,D,E,F各点的极坐标分别是 4(6,)B(3-),C(5,)D6,,E(6,-晋) F(6,) 图9-11 从图9-1打可以看出，点A的极角6，既可以看作暂，又 可以看作-名，，.因此，点A的极坐标既可以表示 3 为4(6，)，也可以表示为(6，-名）(6g),.可见，在极坐标系内，对于每一对极坐标(，)，都可以作出平面内唯一的一个点；反过来，平面内任意一点，都有它的极坐标(P,),但不是唯一的了，坐标(p,8土2)(n是整数)都表示同一点 特别，当P=0时，不论8取什么值，(0，)都表示极点， —07 ==========第114页========== 【例3】根据图9-12的零件视图，写出A,B,C,D,E 的极坐标. 35 解：根据图示数据可知， A,B,O,D,E的极坐标分别 为A(150,0),B(110,32), C(100,95),D(100,136), E150,-58°). 2.极坐标方程在极坐标系中，平面内一条曲线，可以 图9-12 用含有P,B这两个变量的方 程来表示.这种方程叫做曲线的极坐标方程 【例4】设一帽通过极点，圆心在极轴上，半径为受.求 这个圆的极坐标方程 解：如图9-13所示，OB是國的直径，它的长等于a.设 P(P,9)是圆上任意一点.在直角三角形OPB中，OP= OB cos0,即 p=acos5 这个圆上任意一点的极坐标(，)都应满足这一关系式，因此，它就是所求圆的极坐标方程 P(A,0) 图9-13 图9-14 【例5】试画出极坐标方程(1)p=5;(2)p=1+os日所 -{08一 ==========第115页========== 表示的图形 解：(1)P=5表示不论6取什么值，它的图形上的点的 极径都是5.因此方程P=6的图形，就是以极点O为圆心， 5个单位长为半径的一个圆（图9-14）. 一般地，以极点O为圆心，以a为半径的圆的极坐标方程是 p=a. (2)p=1+c0s0. 给日以0到2π之间的一系列的值，求得p的对应值，列成下表： 2x 5x Ta 4 5x 11w 6 2 3 6 6 3 2 3 6 .91.5 0.50.1 0 0.1 0.5 .5 1.9 以表中每一对数为极坐标，在极坐标系中描出各点，然后用平滑的曲线依次连接各点，得到如图9-15所示的曲线， 6 2이(2 警 图9-15 109 ==========第116页========== 形如方程 p=a(1+cos6) 所表示的曲线叫做心脏线.凸轮外壳有时也采用心脏线的一部分， 3。直角坐标与坐标的互化直角坐标系与极坐标系，它们都是用一对数来确定平面内一点的位置，因此同一点的 直角坐标与极坐标之间必然存在着一定的联系，它们是可以转化的 我们在同一平面内，使极坐标系的极点和直角坐标系的原点重合，极坐标系的 0 极轴和直角坐标系的轴的正半轴重合 图9-16 (图9-16).设平面内一点P的直角坐标 是(c,y),它的极坐标是(P,),那么显然有 x=pC0s日， y=psin. p=√2+， 或者 tg8-3(如果点P不在y轴上). 用公式g9=兰求极角6时，需根据点(c,)所在的象限来 确定B的值， 【例6】()把点M的极坐标(4，)化为直角坐标： (2)把点V的直角坐标（一3,3）化为极坐标， 解：(1)-4풀-2， y=4i血营-2√8. 即点M的直角坐标是M(2,2√3). ー1 10 ==========第117页========== (2)p=√(-3)+3=3√2； g0-8g-1. 因为N(一3,3)在第Ⅱ象限，所以 4-3x 4 即点N的极坐标是N(3√2,8)， 练习 1.在极坐标系内，画出极坐标为（色，）和（停，警）的点。 2.试画出p=2(1-co8)的图形 3.将直角坐标(1，-√3)化为极坐标将极坐标(3，）化为直角 坐标. [3.(2,-)(-,-3)] 三、等速螺线的极坐标方程 现在我们来建立例1中凸轮工作面曲线一等速螺线的极坐标方程， 在图9-17中，设P(P,)为等速螺线上的任一点，点P 的开始位置为A(30,0),螺距 AB=72mm.我]来找出p与8的关系 根据等速螺线的特性，点P 的极径°是随着旋转角B的增加 而均匀增加的.当射线OM转过 2m弧度时，点P的极径从30毫 图9-17 米增加了螺距d,即72毫米.所以OM每转过1弧度时，点 一111一 ==========第118页========== P的极径就增加 72-36 2元 (即) 那么，射线OM旋转日弧度时，点P的极径就增加09图 此 p=30+36日. 元 这就是例1中凸轮工作面曲线一等速螺线的极坐标方程。 一般地，等速螺线的极坐标方程是 0=+县， 其中P是螺线起点（即8=0时）到极点的距离（即基圆的半 径，山是螺距，它们都是已知数。我们如果用@来表示是， 那么等速螺线方程是 -Po+a8 a>0,表示OM每旋转1弧度点P的极径增加的距离；a<0, 表示点P的极径减少的距离. 等速螺线上任意点的极坐标，都应满足这个关系式，利用 这个关系式，对螺线上的任-一点，可以由P与8中的任意一个 求出另一个来. 例如在等速螺线方程 p-30+369 中，已知凸轮转过了60°，要求从动杆推进了多少毫米.我们将日=晋代入方程，得 p-别+盟晋=2， -112一 ==========第119页========== 即从动杆推进了42一30=12毫米.相反地，已知从动杆从原始位置推进了18毫米，就是极径p=30+18=48时，要求凸轮转过了多少度，可将p=48代入方程，得 36 T 即凸轮转过了90°. 【例7】在某种型号的缝纫机上，用桃形凸轮（图9-18）控制机件上下运动.这个凸轮一半推出，另一半缩回，且推出与缩回都是匀速的.已知基圆半径是16毫米，推程（最大推出距离)是30毫米，求桃形轮的方程，并画出它的图形 解：建立极坐标系如图9-18 所示，其中极点O就是基圆中心，极 轴过起始点A, 因凸轮一半推出，一半缩回， 图9-18 而且推出与缩回都是匀速的，所以它们是两段等速螺线：0≤日≤元一段为推出，π≤9≤2x一段为缩回.现在分别建立这两段等速螺线的极坐标方程， 设所求凸轮的等速螺线极坐标方程是 p=po+a8. (1)对于0≤0≤m一段，当8=0时，p=16;当B=π时，p*16+0=46.代入方程，得 f16=p0+a0, (46=po+a元. 解这个方程组，得P0=16,a=30所以极坐标方程是 -113 ==========第120页========== p-16+309. (2)对于π≤8≤2m一段.当8=m时，p=46;当6=2r时，p=16.代入方程，得 46=p0+Cr, l16=po+a·2 解方程组，得Po=76,&=-30.所以极坐标方程是 P=76-300. 根据所得方程列表：熹 0=16+30 p=76-306 8 0 6 东艺2x譬 4如3新511 6 4 62a 1621 26 31 36 41 46 46 41 36 31 26 21 16 描点画图，即可得所求凸轮的轮廓曲线如图9-19所示. 2 云 6 号 图9-19 -114- ==========第121页========== 【例8】试设计个基圆半径为0毫米的平面凸轮轮廓曲线，使其从动杆适合下面的运动规律： ()当凸轮转角9自0增加到警时，从动杆勾速地推 出60毫米； (②当凸轮转角6自增加到答时，从动杆匀速地 缩回60毫米； (③)当凸轮转角0自：增加到2时，从动杆保持在原 始位置. 解：我们先来建立方程， ()凸轮在0<9≤g一段，从动杆匀速推出，所以是等速螺线.设它的方程是 p=po+a6 当0=0时，p-0,当9=g时，p-60+60=120,代入方程，得 60=p+a0, 120=p+68.5 解这个方程组，得 =60,8=72 所以极坐标方程是 p=60+720. (②凸轮在警<90且a中1)"，我们把心叫做以a为底的N的对数，记作 loga N=, 其中a叫做底数，V叫做真数. 例如，因为23=8.所以以2为底8的对数是3，记作 "ar=N中规定a>0,a中1，这是因为：如果a<0,那么当x为分数时，可能出现负数开偶次方，因此不作讨论；如果a=1,那么a恒等于1，没有讨论的必要。 一136- ==========第143页========== 10gg8=3, 读作以2为底8的对数等于3：因为10-2-0.01，所以以10为底0.01的对数是一2，记作 10g1o0.01=-2. 因为a>0,所以不论x取任何实数值，N=a恒为正数，根据对数的意义可以知道，在底数a>0且a中1时， a=V和1ogN=x 是a,N和心三个量之间同一关系的两种不同表现形式，它们是可以相互转化的.我们列表比较如下： a>0,a+1 a 意 义 指数式a年=N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N 对数式1ogaN=红 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于g 把指数形式转化成对数形式，这是随着生产的发展，对数学计算提出的新的要求.恩格斯指出：“任何一个数都可以理解为和表示为其他任何一个数的冪（对数，！=）。而这种从 一个形式到另一个相反的形式的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一，如果没有它，今天就几乎无法去进行一个比较因难的计算。”下面我们将看到，引进了对数，不仅可以把上述指数形式中的未知数①表达和计算出来，而且可以使困难的计算变得简单得多， 从对数形式和指数形式的相互转化中，可以推出对数的 三个基本性质： (1)底的对数为1事实上，因为a以=a,所以 137一 ==========第144页========== loga a=1. (2)1的对数为零：事实上，因为a°=1，所以 loga 1=0. (3)负数和零没有对数，即真数恒为正数、具当底数大于1时，真数越大，对数也越大 事实上，因为a>0所以N=a>0.又因为当a>1时，在N=a中，N越大，也越大.即W越大，log。N也越大. 练习 1,把下列指数形式化成对数形式： 2=16,39=7；10-4=0.0001;105=100000; (3)》'-7；y=1.28.2,把下列对数形式化为指数形式： 1log6561-8;log1,525=-2;1logo010=7;1og1=05log1o0.0001=-4;l0g1.1x=y. 二、积、商和幂的对数的运算法则我们已经知道，同底数幂的运算规则是： am,a=am+n (a>0),a切 an=an-n(a>0), (am）"=amn(a>0). 根据这些规则，可以导出计算积、商和幂的对数的运算法则. (1)两个正数的积的对数，等于这两个数的对数的和。即 loga (M.N)loge M+logo N. 事实上，设log.M=g,ogaN=y,那么 -133- ==========第145页========== af=M,a-N, 所以， M.N=a:a'=a+". 由对数的意义，得 1oga(M·W)=x+y=loge M+1og。N.这一法则可以推广到两个以上正数的积的情形：1oga(W1V2…W)=logaN1+1ogaW2+…+10gaNm.(②)两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。即 M -loga M-loga N.logo N 利用-a这一规则，用指导法则()的类似方法， 容易推得这个结论. ()一个正数的幂的对数，等于这个正数的对数乘以指数，即 loga N"=n log.N. 事实上，设1ogN=,那么a=N.所以， N=(a)=am 由对数意义，得 loga N^=no=n loga N. 由此，我们还可以推得： log N=loga N. 【例1】已知1og102=0.3010,1og1o3=0.4771.求 1ogw12,1g08,1og06. 139 ==========第146页========== 解：1og1612=10go(3×22)=1og1o3+1og1o22 =10go3+210g102=0.4771+2×0.3010=1.0791. og0g.00g =310g1o2-3l0g103 =3×0.3010-3×0.4771=-0.5283。 1ogw3√6-号1gn6-号1go(2×3) -号0ogw2+1ogn3) -(0.3010+0.4771)-0.2594. 【例2】求1og/32×0.25 マ16 解： 10g8V32×0.25）-1og2+10ga0.25-1og,/B 16 -216g32+1og,音-言1g16 -16g,2+1og2-专1og24×5×1-2x1-×1 (为什么？) 从上而的例题可以看出，利用对数运算法则，可以把乘、除运算转化为加、减运算；乘方、开方运算转化为乘、除运算，从而简化了计算. ー140 ==========第147页========== 练习 求下列各对数的值：lcg1c3000:loge1.8;log1o(1.2)2. [3.4771;0.2552:0.1582.] 小 结 1.如果a=N(a>0,a≠1)，那么，x叫做以a为底的N的对数，记作loga N=x(a>0,a≠1).其中a叫做底数，N叫做真数.4*=W和log,N=e是a,N和。之间同一关系的两种不同的表现形式，它们是可以相互转化的 2。对数运算法则： (1)log(M.N)=log,M +log N; 2,1og.（(兴）=log-logy (3)log.N"=n loga N, g.-是ogN. 习 题 1.求下列各对数： (1)1ogo1000:logs625;og1o10035 1 (2)1og100.00001;1og:0100025;log:G4, (3)1og1o√1000' 2.求下列各式中的 (1)1og1/2x=-3; (2)1og2x=0.125; (3)1og0x=-1; (国l6gw=宝， 3.已知1og102=0.3010,1og103=0.4771,10g1n7=0.8451.求下列各对数的值： (1)1og1o0.0021; (2)1og1.4200; -141一 ==========第148页========== (g警 (4)log0V⑧. 4,计算下列各式的值： （logs6-log,30+logn0-lgwalog,ya+log÷+log后1 第二节常用对数 上面介绍了对数的概念和运算法则.因为我们常用的计数制是十进位制，所以在对数计算中，常常用10做对数的底数.以10为底的对数叫做常用对数。为了简便，常用对数通常把底数10省略不写，并把“1og”记成1g”.例如，1og10N记成gW,以下我们讲的对数，就是指常用对数. 一、求常用对数的方法 对于常用对数，除了上节所讲的一般性质和运算规则都成立外，还有它的特殊性质.下面我们先介绍常用对数的一些特殊性质，然后说明求常用对数的方法， 1.10的整数次幂的对数我们知道，1g1=lg10°=0 lg0.1=1g10-1=-1 g10=g103=1; lg0.01=g10-3=-2 1g100=1g102=2 lg0.001=lg10-3=-3 1g100=1g103=3, 0 一般地， lg1000=lg10°=% 开个等 ー142 ==========第149页========== 1g0.00…01=1g10-8=-%, n个零 由此得出：10的整数次幂的常用对数是一个整数，它等于这个幂的指数. 【例1】求下列各对数： (1)1g1000000: (2)g0.00001. 解：(1)g1000000=1g108-6. (2)1g0.00001=1g10-5=-5. 【例2】求下列各真数： (1)gx=5 (2)1g=-3. 解：(1)'1gx=5, ,.花-105=100000. (2）'gg=-3,∴.c=10-3=0.001. 2.1~10之间的数A的对数当10,a≠1)为底的对数为g,即 loga N=4. 化为指数式，得 a'=N, 两边各取以b(b>0,6≠1)为底的对数，得 a logo a=log N. 因此， a-loge N10g66’ 即 log.N=log,w 10g6a, (1) 这就是把真数N以a为底的对数，化为以b为底的对数的换底公式。应用这个公式，就可以利用“常用对数表”求得以任意数a(a>0,a≠1)为底的正数N的对数. 【例15】求1ogg5. 解：对照公式(1)，这里a=2,b=10,N=5, 、10ge5=g5-0.69e0=2.322. 1g20.3010 在公式(1)中，如果a=e,6=10,那么 -151 ==========第158页========== In N IgN lg6· 因为 1“ 1 1 g0g2.778=0.4343=2.303, 所以 In N=2.303 1g N. 这就是由常用对数求自然对数的换算公式. 【例16】利用常用对数求n10,nj00.解：根据上面公式， n10=2.3031g10=2.303: Jn100=2.3031g100=2.303×2=4.606 小结 1,以10为底的对数叫做常用对数.log1oN简写为lgN, 2.已知真数V求对数lgN的步骤： (1)查尾数.把N化成A×10(1≤A<10)的形式，查“常用对数 表”，得到正的纯小数或零. (2)定首数.当N>1时，首数等于W的整数部分位数减1；当 N<1时，首数为负整数，它的绝对值等于N的第一个非零数 字前零的个数 ·(③)写出对数：1gN=首数+尾数8,已知对数gN求真数N的步骤： (1)由尾数查“反对数表”得真数W的四位数字. (2)根据首数确定真数的小数点位置， 4.对数的换底公式： log NloN log a 5.以6为底的对数叫做自然对数.自然对数可用常用对数表示为 mN=g=2.303gN. Ige -152→ ==========第159页========== 习 题 1.计算下列各式： (1).51g2.15+3g14.3; (2)1g0.873-p0.543; (3)1g(2.17)9+1g/0.023-lg√0.00252,计算下列各式： 3/738×V41.3 (1)x=√0.816×52.63 (2)x=0.04850a 3.单缸四冲程柴油机的有效功率 N,=P(马力， 12×75 其中P。是平均有效压力（公斤/厘米），"。是气缸容积（升），n是飞轮转速（转/分.利用上面公式，计算气缸直径D=95mm,活塞行程8=115mm,n=1700转/分，P.=6.5kg/cm2的柴油机有效功率： 0.05 6.5×3.14×4×1.15×1700 N, 12×75 (=(》) 4.一捆直径是2.5毫米的钢丝衡15.8公斤，如果钢丝的比重是7.96 克/厘米，求这捆钢丝的长 提示：设钢丝长为，那么它的体积是π("是钢丝的半径).根据体积一雷量可求得？.用对数计算) 比重 5.某县化肥一今年生产合成氨5000吨，计划以后每年比上一年增产20%,多少年后年产量可达10000吨？ 6,某生产队召开批判林彪效法孔老二鼓吹“克己复礼”大会，贫农李大妈在会上控诉万恶的旧社会：“解放前，我租种了地主四亩地.有 一年因受水灾，颗粒无收，可是地主的租子却半粒不能少，强迫我写了一张400斤大米的借条，月息高达20%.”试算一算，一年之后李大妈被地主剥制了多少斤大米？ -153- ==========第160页========== 第三节计算尺 对数计算尺（简称计算尺）是劳动人民应用对数原理而制造的一种计算工具，它结构简单，计算简捷，在工农业生产中应用很广泛， 一、计算尺的构造和刻度原理 1,计算尺的构造计算尺由尺身、滑尺和游标三个部分组成（图10-1）. 图10-1 1一尺身上尺)8一尺身（下尺）3-滑尺4一游标6一准线 (1)尺身：计算尺的固定部分，包括上尺和下尺；(②)滑尺：在上、下尺间能左右滑动的部分； (③)游标：用透明材料制成，套在尺身上面，可以左右滑动.游标中间刻有一条红色细直线，叫做准线，用来读数或对齐数字， 计算尺尺面上刻有各种尺度，一般计算尺都有以下几种 一154一 ==========第161页========== 常用尺度：O,D尺（基本尺，可用来作乘除、比例等运算）； A,B尺（平方尺，与O或D尺配合，可求一数的平方或平方根 K尺（立方尺，与C或D尺配合，可求一数的立方或立方根）， 此外，还有倒数尺，常用对数尺以及三角函数尺等、这里我们 只介绍O,D尺的刻度原理和使用方法 2.C,D尺的刻度毛主席教导我们：“大家明白，不论 做什么事，不懂得那件事的情形，它的性质，它和它以外的事情的关联，就不知道那件事的规律，就不知道如何去做，就不能做好那件事。”在使用计算尺前首先要了解尺面上刻度的规律，才能正确而熟练的进行计算 O尺和D尺是刻度完全相同的两条尺，因此只要介绍一 条，例如D尺的刻度原理就可以了， D尺左端的刻度1叫微左指标右端刻度10叫做右指 标，它们之间的距离为1个长度单位.尺上的每一刻度与左指标1的距离为1gc,即刻度2,3,4，…，9与左指标1的距离如下表所示： 2 45678【910 岁eg罗 00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541 在尺面上的刻度如图10-2所示.这样的刻度1,2,3,4，"，9,10叫做一级刻度.在每相邻的两个一级刻度之间，例如1 D 拉 호8910 g20.301 g30,47T -1g岂0.02 g10-5g 图10-2 155- ==========第162页========== 与2之间，再刻上二级刻度1,2,3,4，，9，分别表示1.1， 1.2,1.3,1.4,…,1.9,它们离开左指标1的距离分别是g1.1,lg1.2,g1.3,g1.4,…,g1.9.同样，在每相邻的 两级刻度之间再刻出三级刻度.这样，如果要在D尺上读出 数6.25，可先找到一级刻度6在一级刻度6和7之间找到 二级刻度2；再在二级刻度2和3之间找到三级刻度5（如无 三级刻度可用目测)，此刻度线就表示数6,25， 那么，超过10或小于1的数如何在D尺上读得呢？ 从上面有关对数的知识我们知道，数字相同而只有小数点位置不同的数，它们的对数的尾数是相同的，不同的只是首数.例如10~100的对数： 10 20 30 40 5060 70 80 90 100 y-lgx 1.301.477h.6021.6991.7781.845印.9031.954 2 由上表与前面1~10的对数表对照，可以看出，从1到2,3…的距离，与从10到20,30，…的距离是相同的，即它们在 D尺上的刻度相同.因此，D尺上虽然只刻了1~10，但在 应用上，可读作10~100,100~1000，…或0.1~1,0.01~ 0.1,“,也就是数字相同而只有小数点位置不同的数，可在 C,D尺上同一刻度处读得.例如在刻度6.25处，可读作 62.5,626,0.625,…所以应用C,D尺计算时，读得尺上的 读数后，必需进行定位，才能得到所求的答数 一般O尺刻在滑尺上，D尺刻在定尺上.运用C,D尺可 以进行乘除等运算 二、利用计算尺作乘除运算 1.利用C,D尺进行莱法运算我们先来看，利用两条 456- ==========第163页========== 相同均匀刻度的直尺M,N,可以进行加减运算.例如求 2+3,运算如图10-3所示. 3 12 45 878010 5 6 910 图10-3 我们已经知道，根据对数运算法则，可以把乘、除运算，转 化为加、减运算.因为C,D尺是根据对数原理刻度的完全相 同的两条尺，所以利用C,D尺就可以进行乘、除运算。 计算 =a×b. 两边取对数，得 lg筋=lg(ab)=lga+lgb 上式说明，为水积ab,只要用C,D尺作对数加法就可以了. 我们移动滑尺，使C尺左指标1对准D尺上的4：移动游标， 使准线对准C尺上的：这时，在准线下所对D尺上的刻度， 就是所求积的读数.再用估算法定位就得答数.它的原理如图10-4所示. .gb c=×b10 +lga- --1g I=lga+lgb- 留104 D尺上的1到a的距离=lgc, C尺上的1到b的距离=gb, 157- ==========第164页========== D尺上的1到x的距离=g. .'Iga=1ga+lg 6, 即 a=axb. 这一运算过程，可用表表示如下： G 1 b D a (axb) 【例1】计算2×4 解：移动滑尺，使0尺左指标1对准D尺2：移动游标， 使准线对准O尺4；在准线下所对D尺上的刻度8，就是所求 的积.即 2×4▣8， 原理如图10-5所示. 2 810 g81g2+g4女 图10-5 【例2】计算8×6. 解：如果照例1那样，移动滑尺，将O尺1对D尺3，那 么，当准线对准0尺5时，准线已落在D尺外面了（图106）. 因为 g(3×5)=lg3+g5=0.477+0.899=1.176 已大于1个单位长了，因此不能在D尺上读到答数.但由前 -I58- ==========第165页========== 10 图10-6 面我们已知道，数字相同而只有小数点位置不同的数，可在 O,D尺上同一刻度处读得.因此，0尺右指标10和左指标 1是可以通用的.我们按下面方法进行： 移动滑尺，使C尺的右指标10对准D尺3，移动游标，使 准线对准0尺5；在准线下读得D尺1.6（图10-），经定位， 得积15. g8- 图10-7 由图可看出： lg1.6=g8-(1-1g6)=1g3+1g5-1 -g3×)-g10-g总. 【例3】计算840×0.C015. 解：(1)求积的读数：0尺10对D尺8.4，使准线对C 尺1.5，在准线下读得D尺1.26.这一运算过程可简单表示 如下： 1.5 10 D [1.26] 8.4 -159- ==========第166页========== (2)用估算定位： 840×0.0015≈800×0.002=1.6 即积的整数部分是1位数，所以 840×0.0016=1.26, 【例4】计算4.52×1.5. 解：()求积的读数：运算过程如下： 1 1.5 D 4.52 〔6.78] (2)定位：4.52×1.5≈4.6×2=9， ∴.4.52×1.5=6.78 【例5】某农场要在1800亩田里灌0.017米深的水，问需水量共多少(1亩=666.7米)？ 解：所需水量Q=1800×666.7×0.017(立方米).我们 利用C,D尺来计算连续相乘. (1)求积的读数：先计算1800×666.7=a(a是中间结果，可不必读出).运算过程如下： 6.667 10 [a] 1.8 再计算G×0.017(不动游标，移动滑尺).运算过程如下： 1 1.7 D C2.04] (2)定位： 1800×666.7×0.017≈1800×700×0.02=25200， -160- ==========第167页========== ,'.Q=1800×666.7×0.017=20400(立方米). 即需水量20400立方米. 2。利用O,D尺进行除法运算除法是乘法的逆运算， 计算 o=a÷b, 两边取对数，得 lgr=lg(a÷b)=ga-lgb. 上式说明，用C,D尺作对数减法，就可求得g÷b.我们把·尺b对准D尺&，移动游标，使准线对准C尺1（或10），那么， 在准线下读得D尺上的数⑧，就是所求商的读数（图10-8）。 定位仍可用估算法， 이1 10 2=a÷b 10 lgr-小ga-g5 Ig a- 图10-8 【例6】某生产队有早稻面积263.5亩，共收稻谷317600斤，平均亩产多少斤？解：平均亩产为31700÷263.5 (1)求商的读数：C尺2.636对D尺3.176，移动游标， 使准线对C尺1.在准线下读得D尺1.205.运算过程如下： C 1 2.635 D [1205 3.175 (2)定位：317600÷263.6≈320000÷300=1067. ==========第168页========== ,∴.317500÷263.6=1205， 即平均亩产量为1205斤. 【例7)】计算724÷13600÷0.06 解：连续除法与连续乘法一样，不需读出中间结果。 (1)先计算724÷13600.运算过程如下： 1 1.36 D [a] 7.24 再计算a÷0.06。这时移动滑尺，使C尺6对D尺a,此 时在O尺1下读得D尺8.9.运算过程如下： 6 10 D 9 [8.9] (2)定位： 724÷13600÷0.06≈700÷14000÷0.1 =0.5, ,".724÷13800÷0.06m0.89 B.利用C,D尺进行乘除混合运算利用C,D尺作乘 除混合运算：：，一般可先除后乘，一除一乘交叉进行， d.e 即 aa d 这样，常常可以减少拉动滑尺的次数，达到计算迅速，结果较准确的效果 【例8】一台电动机，转速是2930转/分(n),带动水 泵.电动机上已有一个直径为140毫米(D)的三角皮带轮， -162- ==========第169页========== 水泵的工作速度是800转/分()，打滑系数*取1.01.问水 泵皮带轮的直径(D)应该是多少？ 解：电动机和水泵的转速和皮带轮直径的关系是 nD急=打滑系数×n噪XD, 所以 n×D=2930×140 D集一打滑系数X1.01×800· 移动滑尺，使0尺1.01对D尺2.93（即2.93÷1.01）；移 动游标，使准线对0尺1.4（即2.93÷1.01×1.4）；然后再移动滑尺，使0尺8在准线下（即2.93÷1.01×1.4÷8）.这时 在0尺10下读得D尺6.07，就是所求D的读数.估算定 位，得 Da=607毫米. 即水泵皮带轮的直径应该是07毫米. 4,比例把计算尺拉到任意位置，O尺与D尺上所有互 相对着的数成比例.例如0尺1对着D尺2，则0尺2,3，生， …分别与D尺上的4,6,8，…相对应着.它们的比值都是 是图10-9).这样利用C,D尺计算比例创同题就非精方促。 D 48810 图10-9 【例9】用“0%稻遮净乳剂”防治稻蕰病，在配制时要求乳剂与水的重量比是1：800.16斤乳剂要加水多少斤？ ”皮带在皮带轮上是要打滑的，所以计算时要乘上一个打滑系数，一般三角皮带的打滑系数是1.01~1.02，平皮带是1.02~1.05， m163一 ==========第170页========== 解：设15斤乳剂要加水g斤，按题意得 115 800-・ 用计算尺计算如下： 1.5 10 D 1.2) 根据比值定位， x=12000(斤). 【例10】某生产队全年总收入55400元，其中农业收入47000元，副业收入5850元，畜牧业收入2550元，各占百分比多少？ 解：这是一个百分比问题，同样可按上法计算.按题意可得 56400=47000=5850=2550100 使0尺5.54对着D尺10，在0尺4.7下读得D尺 8.48(r):在0尺2.55下读得D尺4.6().但0尺6.85已落 在D尺外面，所以要调换指标.移动滑标，使准线对着O尺左 指标1，拉动滑尺，使0尺右指标10对着准线，在0尺5.85下读得D尺1.06(y).运算过程如图10-10. 256475,6410 408.810 5.85 10 Di.08 图10-10 -164- ==========第171页========== 经估算定位，可得x=84.8%,ym10.6%,之=4.6%.即农业收入占总收入的84.8%，副业收入占10.6%，畜牧业收入占 4.6%. 计算尺除了长条形的外，也有做成圆盘形的，如“农村常用计算盘”（图10-11）.这种计算盘由上、下盘组成.上盘刻有乘除尺和倒数尺（用于求一数的倒数），可以左右旋转，下盘固定，刻有乘除尺和相应的百分比尺度（用于计算增加或减少的百分比).它的刻制原理和使用方法与长条形的相同，这里不作介绍了， 40 %0 图10-11农村常用计算盘 1一下盘乘除尺2一上盘乘除尺3一上盘倒数尺一下盘百分比尺 6一指标6一滑标Y一准线8-螺钉螺帽 小 结 1,对数计算尺是利用对数原理刻度的计算尺，利用基本尺度C, D尺可进行乘、除、比例等运算 -165- ==========第172页========== 2.C,D尺进行乘法运算的方法： 左指标（佑指标 乘数 D 乘数 [积) 根据尺上读数，用估算定位，得到所求的积 3,C,D尺进行除法运算的方法： 0 除数 左着标（右指标） D 被除数 [商们 根据尺上读数，用估算定位，得到所求的商， 4,用C,D尺作乘除混合运算，可以“先除后乘，一除一乘交叉进 行”。用C,D尺作此例计算也很方便. 第四节算图 一、什么是算图 算图（又称诺模图）是根据数学原理，把某一公式中所含变量的函数关系，绘制成由几条图尺组成的一种图形.利用这种特殊图形，可以根据某几个变量的已知值，在图上直接确定另一变量的数值.算图所得结果虽然是近似值，但在大多数的情况下，已能满足要求，因此它在工农业生产中得到了广泛的应用.下面举一个运用算图的例子 生产队饲养场为了随时了解猪的生长情况，经常要估计生猪的重量（毛重）.饲养场的知识青年通过大量的调查和实践，得出了估计生猪重量的经验公式： 10=4.85g乳， 其中3是猪的胸围长，【是猪的体长（单位是尺）；0是猪的重量（单位是斤）。 一166 ==========第173页========== 10-12 因此，只要量出猪的体长，胸围8（图10-12），代入上面公式，就可以估算得猪的重量 但这样计算比较繁复.我们可以根据生猪估重公式，绘制出由三个变量0,8，【所对应的三条图尺，组成生猪估重算图（图10-13）.在量得猪的胸围长8和体长，后，分别在8图尺和！图尺上找出它们的对应点，将此两点用直尺连成一直线，直尺边缘穿过切尺上的一点，这点的读数就是所求生猪的重量（斤数）. 例如由图10-13中的虚线可以看出：当8m3.1尺，=3尺时，得0=140斤；当8=3尺，？=3.2尺时，得w=140斤；当8=3.4尺，1=3.6尺时，得0=200斤. 从上面的例子我们看到了利用算图代替公式计算的优越 ·一般地，形如切=的经验公式，其中k是常数，对牛、羊等性畜估慰都可适用。对于不同的性畜有不同的常数。k可以这样确定：先测定某种性 畜若干头的体重、胸到、体长，根据一贵得到各个不同的北值，然后取 它]的平均值.上面猪的估重公式中的常数4.85，对估算重的130斤以上的猪比较准确，量猪时应注意：(1)量体长时应从猪的两耳根连线的中点起，到尾根为止；（②）置胸围时应从猪的前混夹往后两个指头宽处围绕猪身 一周。 -167- ==========第174页========== 4 01 7生 300 250 8. 3.6- 200- 150 3 100- 2.6 2.5 已知. 60 已知 答数 40 2 2 58.8 型 ) o 图10-13 性.那么怎样根据公式来绘制这种算图呢？下面我们介绍简单算图的绘制原理和方法. 二、算图的绘制 一般算图是由三条或更多条图尺组成的.结构最简单的算图是由互相平行的直线图尺组成的，叫做平行图尺算图.这里我们只介绍平行图尺算图. 1.田尺方程绘制平行图尺算图就是绘制几条平符的直线图尺。直线图尺是根据图尺方程，应用坐标法来绘制的，为此有必要先了解一下有关图尺方程的知识。=168- ==========第175页========== 6. 3 2 2018 2 14 12 0 214 图10-14 设有变量让和v的二条平行直线图尺，如果以“图尺所在直线为y轴，垂直于u图尺的任一直线为x轴，那么得到如图10-14所示的直角坐标系.我们从图中可以看到，u图尺上.任一点的横坐标都为0.即多=0；纵坐标y与w值之间的关系是y=2,所以u图尺上每一点的坐标应满足方程 c=0, y=2u. 这就是u图尺方程.同样，从图中可以看出，v图尺上每一点的横坐标都为8，即=8；纵坐标y与v之间的关系为 y=20-6 所以)图尺的方程是 c=8, 1 ly=-5. 一般地，我们把 =, y=y(u), -169- ==========第176页========== 叫做直线图尺方程，其中a是常数. 根据直线图尺方程，可以绘制出直线图尺。 【例1】根据图尺方程 8=30 y=10u+2 绘制变量u的图尺，已知变量u的变化范围为1≤u≤4.解：(1)在坐标系Oy中作一直线龙=30 (②)由函数式y=10u+2计算变量u与y的对应值，列表如下： 1 5 4 12 22 32 42 (3)在直线=30上，根据表中每一对数据，画出图尺的刻度线，如图10-15所示. 现在我们先讨论平行图尺算图中变量之间的关系的一般公式，然后根据这个公式导出平行图尺的图尺方程，并绘制算图. 80 品 2 10 010230 图10-15 图10-16 设有一个平行图尺算图，它由w图尺、)图尺和和图尺组 —170一 ==========第177页========== 成.以u图尺作为y轴，与u图尺垂直方向的任意直线为m轴，建立直角坐标系，如图10-16所示.设u和图尺之间的距离为H;w图尺对于w,w两图尺距离之比为m:%.由比例 关系，可得到0图尺与u图尺之间的距离为m。且.那么 m十n 这三个图尺的图尺方程分别是u图尺方程： 的=0， =(), ”图尺方程： (=H, y=()4 0图尺方程： m一且， m十n y3=y8(o）. 现在我们讨论“，四和0三个变量之间的关系. 前面我们已经看到，利用算图进行运算时，0尺上表示答 数的(m年n耳，h(）,是在u尺上表示已如数的点0 (a)和v尺上表示已知数的点(H,y(w)的连线上.通过(0，h()和（丑，(）)两点的直线方程是 y=h(u=()-头2. 心-0 H-0 由于图尺上的点(m开n,%(四)在这条直线上，所以 (知)-（他=（四）一头（似m一丑-0 m+n -171 ==========第178页========== 化简，得 (m+n)y3(w）-(m+n)h()=mya(e)一m(, (m+)ys(w）=4:(u)+my(). 两边除以mn,得 八、 ”%(四-品%+号n(.m*% 设 五（侧-品n:(回）-合n( f:(w)-mtn ya(w). m.n 那么上式就可表示成 f:(w)=fi(u)+fa(v). (1) 这就是平行图尺算图中表示变量之间关系的一般公式。如果 一个公式能化成这种形式，那么就可以绘出含有三条平行直线图尺的算图 由()品()，()(の)， 1 f3(u）am+%(0) m.n 可得 1(w）rmf1(w); y(v）=nf(); 为(0)=-mnf(0）. m+n 以此分别代入图尺方程，得三个变量的图尺方程： u图尺方程： =0, y-mfi(u) (2) —172一 ==========第179页========== 图尺方程： 「=H, (3) =nf(); c图尺方程： 牌E, mIn (④) 数=mnfa(o）. m-n 有了上列图尺方程，就可以绘制平行图尺算图了. 2.平行图尺加法算图现在我们来绘制计算两数之和0=u十v的算图.步骤如下： (1)观察所求算图公式是否符合公式(1).很明显，如果令f()=u,f2()=;fs(o)=0,公式w=u+w就成为 fs(o）=f1(u)+f(0) 的形式.因此它是平行图尺算图.我们可以得到加法算图的图尺方程如下：u图尺方程： 1=0, 、y1m2 w图尺方程： =H, t yaRの w图尺方程： mH, m+n 3=一仇·见-0, m+ (2)计算图尺系数，确定图尺方程.m,m和m·外叫做 m+m -3一 ==========第180页========== 这三个图尺的图尺系数，它们的值可由图尺的长度及变量的变化范围来确定（图尺长度可以自己确定，以方便为好；经验公式中变量的变化范围，根据问题的实际情况而定). 设图尺的长度为100毫米，%和v图尺之间的距离丑=80毫米.又根据实际情况，变量“和"的变化范围是0≤u≤10,0≤)≤10，从而由0=u+)得出0的变化范围是0≤0≤20.由于0≤u≤10，所以它的长度(100毫米)等于图尺上标值为w=0和u=10两点之间的距离，也就是y坐标之差(y轴的单位长度是1毫米).根据“图尺方程，可求出y坐标之差是 y(10）-1(0)=m×10-m×0=10m, 即 10m=100, 因此 m=10, 同理求得 n=10, 从而 m=10×10 m+n10+10 =6, m。且=10+1010 ×80m40 mi- 把所得图尺系数分别代入图尺方程，得W=u十心的三个图尺方程是 u图尺方程： =0, l斯1=10u 心图尺方程： ∫=80， 2=10w, 174- ==========第181页========== 0图尺方程： fg=40, ya=50 (③)根据上述图尺方程，计算变量w,",0在变化范围内变动的函数值y,列表如下： u(或) 0 2 生 5 6 9 8 10 班（或》 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 5 7 20 3 0 10 15 20 25 30 35 0 100 (4)绘制图尺.在直角坐标系Oy中，先画三条直线： =0,2=80,3=40. 然后在这三条直线上根据，，”和y的对应值，分别在偏w,w尺上画出刻度（图10-17）. 10 10 20 98715G 0987 10 5 地上 102030060607080g 0 图10-17 图10-18 -75 ==========第182页========== 通常在算图中不画出直角坐标系，如图10-18所示.在图10-18中，如果用直线连结图尺“上的点8与v尺上的点7，那么这直线与0尺相交点15就是8与7之和.用同样方法可得到9与4之和为13（图中虚线所示）.用这样的方法，就可以求得“和)在其变化范围内的任意数值的和， 3.平行图尺乘法算图根据上面绘制加法算图的步骤，同样可以绘制出计算两数之积0=四的平行图尺算图， (1)将0=w·v两边取对数，得 lg w=Ig u+lg v. 设j()=gu,f(w)=lgu,fa(0）=g0,那么上式就是 fa(w)-f:(u)-fs(v). 因此从算式w=”,我们可以绘制出含有三个平行直线图尺的算图， 将f(w）)=lg6,f(w）一g⑦，（知》=g0代入图尺方程，得 让图尺方程： f=0.1=m lgu; ：v图尺方程： 「g=H, L ya=n lg v: w图尺方程： 3mH, 2 m+n m.n m十n g0, 呈 76一 二 ==========第183页========== (②)设图尺长度为100毫米，u,)两尺之间距离为80毫米，u,v的变化范围是1≤u≤10,1≤0≤10，从而得w的变化范围是1≤0≤100，u图尺标值是1和10的两点之间的距离是100毫米，即 1(10)-1(1)=100, 就是 mlg10-m1g1=100, 由此得 m=100(毫米)。 同理可得 n=100(毫米). 并且 mn=100×100=50(毫米)， m+%100+100 100 "一丑=100+0而×80=40（毫米）. m十n 把所得图尺系数分别代入图尺方程，得w一u·w的三个图尺方程是 u图尺方程： 1=0, (1=1001gw v图尺方程： =80, %=1001g w图尺方程： c3=40, g=501g0。 一177→ ==========第184页========== (3)由上述图尺方程可计算出变量“，w,0与y的对应值.列表如下： u(或) 1 3 5 6 9 10 1(或) 030.1047.7160.2169.9077.8284.5190.3195.42100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10C0 0 50 65.0573.8580.1084.9588.9192.2595,1597.71 100 (④)绘制图尺.根据上面一系列数据，就可以绘制出乘 法算图如图10-19所示. 利用这个算图，就可迅速地求得两数相乘的积.例如u=8,0=3,即可求得0=24；u=6,w=6,即可求得0=30. 10 4.生猪估重算图的绘制现在我们来绘制本节开始时提出的生猪估重公式的算图. 生猪估重的经验公式是 10 0=4.859乳， 图10-19 其中变量是3，，w.根据实际 情况，8，的变化范围分别是2≤8≤4（尺）和2≤≤4（尺），由上面的公式可得0的变化范围是38.8≤w≤310（斤）.对等式w=4.85乳两边取对数，得 1g0=lg4.86+21g8+1g, 就是 1gw-0.6875=2g8+1g. 设f1()=21g8,f()=1g,f3(w)=1g0-0.6857,那么上式化为 178一 ==========第185页========== f3(0)=f1(s)+f2(③， 所以估重公式0=4.85乳也可以绘制成具有三条平行直线图尺的算图、它们的图尺方程是8图尺方程： g=0,y=2m 1gs; ?图尺方程： =H, lya=nlgh w图尺方程： mH, m+1 ga=mn(1g0-0.6857). m十元 设图尺长100毫米，8，？尺间的距离日=100mm,对于$图尺有 f1(4)-f1(2)=100, 就是 2m(1g4-lg2)=100, 化简得 m=166.1(毫米)， 对于！图尺，同样有 f(4)-f(2)=100, 就是 n(1g4-lg2)=100, 得 n=332.2(毫米)， 那么 179一 ==========第186页========== mm166.1×332.2 m+n166.1+332.2=110.7(毫米)， 。月-16612.2100=8.8（毫米.166.1 m+n 把图尺系数分别代入8,1，他的图尺方程，得8图尺方程： =0 劭1=332.21g ,图尺方程： cg=100 ya=332.21g4 0图尺方程： 3=33.3, y3=110.7(1gw-0.6857). 根据上列8，，0的图尺方程，分别计算变量3，，0在变化范围内变动时，对应的纵坐标y的值，列表如下： 8(或) 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 1(或) 100 107.03 113.75 120.16 126.30 132.18 187.86 8(成) 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.8 y1(或)149.31148.56 153.61 153.49163.24 167.79 172.25 8(或) 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 (或)176.56180.75 184.80 183.76 192.61 196.36 200 一180一 ==========第187页========== 38.8 39 40 50 60 70 80 90 当 100 100.23101.45112.17120.94128.35134.7710.42 名 100 110 120 130 140 150 160 170 约 145.53150.08154.26158.10161.67164.99168.09 171 180 190 200 250 300 310 173.75176.36178.81189.54198.31199.89 绘制图尺，先在直角坐标系中画三条直线： 无1=0：=1003=33.3. 然后再在这三条直线上按上列表中的8，，0和y的对应值，分别画出刻度线，就得8，(，0图尺如图10-13所示.这样，生猪估重公式0=4.85的算图就绘制成了. 三、算图在农村计算中的应用举例 农村中常常要进行的估堆、测产等各种计算，都可以按上面的方法，把常用计算公式绘制成各种算图。现在举例如下： 1,估堆遵照毛主席关于“深挖洞，广积粮，不称霸”的教导，广大贫下中农战天斗地布丰收.为了及时估算出堆在打麦场上麦子的重量，他们把麦子尽量堆得圆而高，形成自然 图10-20 -181一 ==========第188页========== 380 -5000 350 4000 16 -810 300 500 280 9000 175 270 1.70 260 -1500 250 t.05 240 230 000 220 210 1.50 700 1架 1.43 cf) P斤升) 图10-21 ー182 ==========第189页========== 坡面，根据实践经验，总结出麦堆的估重经验公式是 0=56×10-8p3*, 其中0（斤）是麦堆重量，（厘米）是麦堆斜坡总长（图10-20），p(斤/升)是麦的比重. 我们可以将上面的公式制成如图10-21所示的算图， 【例2】有一堆小麦，量得斜坡长=330cm,并称得这种小麦一升重1.63斤（即比重p),利用算图10-21，计算这堆麦的重量 解：如图10-21所示，用直尺连结！尺上的330和p尺上的1.53，直尺和0尺的交点3020斤，就是这堆麦的重量. 2.测产我们已知道，预测稻麦亩产量的公式是 亩产量0（斤/亩）=每亩穗数“×每穗粒数知×千粒重6 1000×600 这个测产公式中有四个变量：，”，专和⑦，因此绘制这个算图就比较复杂.我们可以这样来进行： 在公式 uvt w=1000×5600 中，令入=u”,并将分子，分母同时乘以2，得 W=2t=2λt×10-8. 10 因此，所求作的算图可由入=w算图和0=2入t×10-8的算图复合而成.绘制时，可先根据入=w画出，v和入图尺，再依入图尺为y轴，按w=2入画出t,0图尺.（由于乘法算图 ·一般地，形如甜=3的估堆经验公式，其中飞是常数，对其他有固定形状的成堆物，如玉米、稻谷堆等都适用。这里k值的确定，可根据生猪估重公式中确定k值的类似方法进行（见第167页注）， 183 ==========第190页========== 一爱— 四 1023 伟n3L上上山L·Lt上aacowoantacm응s名 多学 4 的 5 首网 fordlelonlantunloldatoladil ==========第191页========== 的图尺是对数刻度，106仅关系到定位，所以绘制图尺时可以不考虑.)最后得到如图10-22所示的预测稻麦亩产量的算图.具体绘制过程从略 【例3】利用测产公式的算图，求每亩60.5万穗，每穗结实粒40.71粒，千粒重26克的早稻亩产量. 解：在u尺上找出数60.5，v尺上找出数40.71的对应点，连结这两点的直线与入尺得一交点（不必读出）.连结该点和在t尺上数26的对应点的直线，与0尺相交于128（图中虚线所示)，就是早稻亩产约1280斤. 上面我们学习了平行图尺算图的绘制和应用，在实际工 作中，根据各种不同形式的方程，还有N形或含有曲线等的 算图，这里不作介绍了， 小 结 1.算图是根据数学原理，把某一公式中所含变量的函数关系，绘制成由几条图尺组成的一种图形.利用这种图形，根据某些变量的已知值，能在图上立即确定另一变虽的数值， 2.平行图尺算图的绘制步骤： (1)将经验公式变形成如下的形式： fa(o)=f1()+f2(U). (②)由图尺的长度及变量的变化范围，计算图尺系数m,m十n?722 并确定图尺方程： 4图尺方程 {1=0, l的=mf1(4)； )图尺方程 jx2=H, =对2()： -185 ==========第192页========== 切图尺方程 约=m丑， 历十敦 mn fa(). 物十领 (③)根据图尺方程，计算变量“，，0在变化范围内变动的函数值，列成表格 (④)根据表格中“，"，0和y的对应值绘制图尺， —186✉ ==========第193页========== 第十一章优选法和统筹方法 第一节优选法 一、优选法的基本方法 1.什么是优选法在日常生活中，我们常会碰到这类问题：例如煮饭，水放多了会煮成烂饭，放少了又会煮成“夹生饭”.水该放多少，饭才不烂又不生？ 在生产斗争和科学实验中，这类问题就更多。例如：为炼 一种特种钢，需要加某种特殊元素，加多少才使炼得的钢的 性能最好？用“九二O”、“七○二”、“矮壮素”三种药物混合喷 雾在棉花上，可防治棉花落铃落蕾，这三种药物以什么比例混合，才使防治效果最好？为了多养猪，养肥猪，怎样搭配饲料，既使猪长膘快，又能节约粮食？…象这一类为了达到高产、优质、低消耗的目的，对有关因素进行选择，以确定其最佳点的问题，叫做优选问题 为了选取最佳点一一般叫做好点，往往要做大量的试验，经过对比才能得到.例如，为炼某特种钢，炼钢时需要加入一种特种元素.从理论上估算，每吨钢含该特种元素在1000~2000克之间，那么最好的含量是多少呢？假设我们从1001克开始，每隔1克做一次试验.这样，要做了1000次试验，比较结果，才能找出最好点，即加特种元素的最优量，这就 -187一 ==========第194页========== 得化费大量人力、物力和时间.这种在试验范围内平均安排试验点的方法（通常称为均分法），不符合多快好省的原则.那么，有什么方法可以帮助我们能较快地找到最佳点呢？ 优选法就是利用数学原理，合理安排试验点，减少试验的盲目性，以求又准又快地找到最佳值的一种试验方法， 2.0.618法上面所说的冶炼特种钢的问题，要考察的因素只有一个，即某一特种元素的加入量，我们把它叫做单因素的优选问题.下面即以此为例，说明怎样用0.618法来解决单因素的优选问题 为了说明方便，不妨用一张纸条，表示试验的范围.纸条左端表示1000克，右端表示2000克（图11-1）.这样，纸条上每一条垂直方向的线段，都可以表示特种元素的某个加入量，如纸条中线就表示1500克. 左紫 “片端 1000 1600 0U0 图11-1 第一个试验点，取在整个纸条长度的0.618处.该处所表示的加入量是 1000+(2000-1000)×0.618=1618(克). 我们在0.618处画一条红线，表示第一个试验点（图11-2）， 0 0.618 1000 1618 2000 图11-2 第二个试验点取在哪里呢？把纸条对折，得到与0.618处红线，关于纸条中线对称的一条线.它所表示的加入量，就是第二个试验点所在处（图11-3）.显然， ー188一 ==========第195页========== 第二点=1000+(2000-1618)-1382（克）. 0 0.3820.618 1000 1382 1618 2000 图11-3 从上面的计算可看出： 第一点=左端点+（右端点-左端点）×0.618，后一点=左端点+右端点一前一点. 事实上，后一式子对于以后各个试验点的计算都是适用的，是计算试验点位置的一般公式. 做了两次试验以后，就可以比较它们的结果。假定加入1382克特种元素所得的钢，比加1618克的质量好，我们就去掉16182000克这一段（如果加1618克比加1382克好，那么剪去1382克左边这一段).就是说，不必再在1618~2000克之间寻找好点了.显然，在剩下的纸条中，留着一个较好的试验点：1382克（图11-4）. 1000 1392 1618 132 1618 图11-4 于是确定第三个试验点的位置.就象确定第二个试验点的位置一样，把剩下的纸条再对折，得到与1382克关于中心线对称的点，这就是第三个试验点（图11-）.根据前面的公式 第三点=左端点十右端点一第二点 =1000+1618-1382=1236(克). -189— ==========第196页========== 1000 1230-+138215001618 图11-6 注意：这里的中心线、左端点、右端点，都是对剪去一段后剩下的纸条而讲的 然后比较加1236克与1382克两次试验结果，如果还是加1382克的好，就剪去1236克左边的那一段， 总之，沿着坏点剪开，留下好点所在的那一段，然后按照依中对折的原则，找到新试验点的位置.这样，一次比一次更接近最佳点，直到试验符合生产要求为止， 【例1】小麦用植物生长调节剂“七○二”浸种，能提高出芽率，促进生长。但用药浓度多少效果最好？某农业试验站对“七二”的浓度用0.618法进行优选.试验范围是10~30单位浓度，做了三次试验，就找到了合适的浓度.试验过程如下： 第一个试验点： 10+(30-10)×0.618=22.36(单位浓度)，第二个试验点： 10+30-22.36=17.64(单位浓度). 比较两次试验结果，第二次比第一次的好.于是去掉22.36单位浓度以上的范围，在10~22.36单位浓度范围中再优选， 第三个试验点： 10+22.36-17.64=14.72(单位浓度) 测定结果表明，当“七○二”浓度为14.72单位浓度时，发芽率已达98%，比前二次的好.同时与清水浸种的对照，发芽时 -190- ==========第197页========== 间提早二天，发芽后的麦苗株高根长，叶片数多，因此确定小麦用14.72单位浓度的“七○二”浸种. 整个试验过程如图11-6所示： ③ ②① 10 14.72 17.6422.36 图11-6 【例】某农修厂修补轮胎，补胎的质量与温度有关：温度太高，熔化过头，胎壁易薄：温度太低，胶化不了，火补时间就长.工人们为了提高补胎质量，对温度进行优选.试验范围40~600，过程如下： 第一点：40+(60-40)×0.618=52.3℃（实取52C), 第二点：40+60-52.3=47.7℃（实取48C). 第一点比第二点好，去掉47.7℃以下的范围，在47.760℃范围内再优选. 第三点：47.7+60-52.3=55.4℃（实取66C). 第三点比第一点好，去掉52.3℃以下的范围，在52.3~00范围内优选 第四点：52.3+60-56.4=56.9℃（实取57℃）. 第四点不如第三点好.可以确定，温度以5℃为好.投产以后，工效提高2倍，质量好，用户满意 3.分数法“对于具体情况作具体的分析”.应用0.618法进行试验，从理论上讲，试验可以一直做下去，直到找出满意的点为止.但在许多实际问题中，由于各种原因（例如进行 一次试验费用较高等)，只允许做一定次数的试验.这时，可用分数法来安排试验。 191 ==========第198页========== 还是用上面的例子，确定特种元素在1000~2000克之间合适的加入量.要求通过一定次数的试验，就能得出结论. 如果要求试验2次就得到结论，那么，我们把试验范围三等分.第一试验点取在全长的2/3处（用2/3代替0.618），同样按依中对折的原则得到第二个试验点，即在全长的1/3的地方（图11-7）. 1000 1333 1600 200 图11-7 如果要求试验三次就得出结论，那么，我们把试验范围五等分.第一个试验点取在全长的3/6(1600克，用3/6代替 0.618)处，然后对折，得第二个试验点，即在全长的2/6(1400克)处.比较两次试验结果，假设第一点比第二点好，那么去掉1000~1400克这一段.再对折得第三点，即全长的4/5处(图11-8)，以其中较好的结果作为结论 1000 1400 1600 18002000 图11-8 同样，如果要求试验四次找到好点，那么我们把试验范围 八等分，第一点在全长的5/8处；要求五次试验找到好点，可分试验范围为十三等分，第一点在全长的8/13处；… 那么，任意给定试验次数K(K是自然数)，如何确定等 -192- ==========第199页========== 分数和第一个试验点的位置呢？ 我们先看下面一列数 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…(1) 顺次以Fo,F,F2,…,F,F+1,…表示，不难发现，这列数开头两个数都是1，而后每个数都是它前面两个数之和： Fo=1; F1=1 F=F1+F。=2, F3-F2+F1=2+1=3: F4=F3+F2=5; 年年年年00年00000080 Fn=Fm-1十Ea- 如果取()中每相邻两数写成分数，以其中较小的作分子，较大的作分母，那么，就得到一列分数： 山，8品品引器， ,…(2) 现在，我们可以回答刚才提出的问题了，当给定试验次数是K次时（区是自然数），按（①）将试验范围分成Fx+1等 分，再按②将第一个试验点选在，处，以后按照依中对 折原则（即后一点=左端点十右端点一前一点）做下去.做完 K次试验后，就得到试验范围内Fx+1一1个等分点中的最好点 为了使用方便，我们把分数法排成如下表格： 193一 ==========第200页========== 预给试验次数区 等分数罪g+1 象一试验点品 2 3 全长的号处 5 全长的处 8 全长的号处 5 13 全长的음 6 21 金长的费处 2 34 金长的器处 8 55 全长的襟处 9 89 全长的需处 10 144 全的 K FKH 全长的止 例如，给定试验次数为7，从表格上可知，应将试验范围 34等分（即P),第一试验点在器处（即会）如果采用均 分法，需要做33次试验才能达到同样的结果 【例3】水稻种子发芽试验，一般规定，在20~30℃条件下，经过十天才可测定它的发芽率.为缩短测定发芽率时 一194一 ==========第201页========== 间，某地区农科所选用简单方便的热水瓶快速催芽法.方法是：热水瓶内放2斤温水，用夏麻布将水稻种子包好，浸入瓶内水中：十二小时后将种子袋提起，挂在瓶内水面以上；24小时后将种子用清洁的温水冲洗，瓶内换水一次，并减为1.5斤，保持原有水温，种子袋仍悬在水面以上；四十八小时后，即可测定这批稻种的发芽率 为进一步提高测定工作的质量，他们对瓶内水温进行了优选.试验的品种是水稻“二九青”和“广陆矮四号”，各用400粒，试验温度的范围是22~460，要求四次试验得出结论. 由于K=4,因此Fx+1=F。=8,即将试验范围八等分(图11-9). ② 226028031034G3704043可460 图11-9 第一点：在是-号处即 22+(46-2)×g-370, 第二点：22+46-37=310 比较两次结果，两种稻种的发芽率都以37℃为好.去掉22~310一段. 第三点：31+46-37=400. 试验结果，发芽率都是40℃的较好，去掉31~70一段继续试验， 第四点：取37+46一40=430，比较试验结果，仍以 —195- ==========第202页========== 40℃的为好. 为了得到可靠的试验结果，消除处理条件的差异性，他们挑选试验用的热水瓶的保温温度误差在0.6℃左右；每个品种都重复做两次试验；并且与十天才能测定发芽率的常规试验进行对照。对照结果表明，两个品种的发芽率都基本相符因此得出结论是：用快速催芽法，早秈“二九青”和“广陆矮四号”的催芽水温以37~40℃为最好. 4.两点说明 (1)好点会不会丢掉？应用0.618法或分数法进行优选试验，在试验过程中，要去掉一段试验范围，会不会把最好的点丢掉呢？一般说来是不会的.我们还是拿炼钢作例子.炼钢时，为加强钢的强度，需要加某种元素。通常随着加进元素的含量逐步增长，钢的强度会慢慢好起来，但到一定程度后，又逐渐坏下去.这种现象从数学角度来看，就是钢的强度与某元素的含量之间存在着函数关系.如果用横坐标⑧表示某元素的含量，纵坐标y表示钢的强度，那么上述现象就可用曲线表示（图11-10）.（注意：这仅是示意图，并不反映它们之间确切的函数关系.)整个曲线的形象就象一座山蜂，我们要找的最佳点，就是曲线的最高点∫(@)所对应的元素含量a(常称f(4)为最大值)， f(e) 图11-10 -196一 ==========第203页========== 从图中可知，元素的含量，当从0逐新增加到a时，钢的 强度也逐渐增加，当超过G时，钢的强度却逐渐降低.这种现 象叫做“单峰性”.在生产上，这样情况是大量存在的 应用分数法或0.618法在第一点c试验后，依中对折得第二试验点d.c,d与最佳点a的位置关系不外乎两种：c,d都在点a的同侧[图11-11(1)，(2)]，或c,d在a的两侧[图11-11(3)]. (1) (2) (3) 图11-11 如图11-11(1)的情况，试验结果肯定是点d比点c的好，去掉的范围是[c,1],最佳点a仍在试验范围内.同样，在图11-11(2)的情况下，试验结果肯定是点c优于点d,去掉的是[O,d)一段，最佳点也留在试验范围内.在图11-11(3)的情况下，c与d在最佳点a的两侧，不论是去掉[0,d,还是去掉[c,1],最佳点都不会丢掉. 通过上述的讨论我们可以知道，最佳点是不会丢掉的，我们知道，用优选法进行优选，正确确定因素的试验范围是很重要的，必须根据经验或计算仔细估算.如果由于经验不足，好点不在所定的试验范围内，那么经过几次试验，必定会出现这样的趋向：在预定范围左端或右端边界上的试验结果比中间的要好，这从图11-11可看出来.这时我们就需要 一197一 ==========第204页========== 超出预定范围再做几次试验，以便在更大范围内找到好点， 以上讲的是“单峰”的情况.“多峰”的情况怎么办？我们用前面的方法，至少可以找到一个高蜂，经过实践检验，如果满足生产上的要求，那就先用上，以后再找其它高蜂。否则，就另选范围，再行优选. (②)0.618是哪里来的？前面提到，在试验范围AB内 取两点，进行试验，比较试验结果的好环，沿着“坏”点剪开，去掉不包含好点的一段，我们已知道，好点是不会丢掉的.现在的问题是怎样选取：，两点，使试验次数最少，设 试验范围AB的长是1，是第一个试验点，是第二个试 验点.在未知试验结果前，购和c哪个好是不知道的.因此去掉[0，]和去掉[，1]都是可能的.这就要求它们一样长： cg=1-的， (1) 即应该是关于中点的对称点（图11-12）.而且无论经 0! 图11-12 过几次取舍，所保留的一点（即包含在新范围的已试点）始终应在新范围中的相应位置上，这就是说，如果去掉的是[,1],留下[0，]，那么其中已做过试验的点在[0，]中的位置，和g在[0,1]中的位置应该相仿，也就是它们的比相同： 花1：1=g, 即 听=9， (2) 将(1)式代入（②）式，得方程 -198- ==========第205页========== 好+1一1=0 这是一个一元二次方程，我们可以求得它的解是 -1±√ 2 这里负数对于我们所讨论的问题没有实际意义，所以取 g=二1+√6 2 这是一个无理数，用无限小数表示，就是 1=0.6180339887 我们用的0.618就是二1+√62 的近似值. 由此可见，只要第一试验点取在0.6们18处，下一试验点取关于中点的对称点，就能保证无论经过儿次取舍，新范围内所包含的已试点始终在新范围的0.618处，这样就能以较少的试验求得好点， 知道了0.618的由来，我们也就可以进一步认识分做法与0.618的关系了. 把上面分数法中(2)式中的每个分数表示成小数，就是 0.，용-0.60。-0.25，음0.615， -0.019,313 21岁0.618，… 以看出，（②）式中的分数一是分母不超过F+1的分 1+1 中与√5-一上最接近的一个.严格的证明这里从略.因此分 2 数法就是用这些分数代替0.618的办法，分数法的优点是在限定试验次数的条件下，能较快地找到最佳点，而且计算较方便.但应用不如0.618法广，精度也稍差些. 199 ==========第206页========== 二、双因素问题的优选方法 “世界上的事情是复杂的，是由各方面的因素决定的。”在生产实际中，需要决定的因素往往不止一个.仍以炼特种钢为例，除了考虑特种元素的合适加入量外，还得考虑合适的温度，这就是两个因素的优选问题。下面我们介绍双因素问题的优选方法 1.纵横对折法在炼某种特种钢时，设特种元素含量的选择范围在1000~2000克之间，冶炼温度的选择范围在1000~2000℃之间. 取一张矩形纸表示试验范围，水平边表示元素的加入量，与水平垂直的边表示温度（图11-13）. 2000℃ i1500C 1000c 000克 10克 2000光 图11-13 第一步，先把纸纵向对折，即固定温度在100℃.然后用单因素法对元素加入量进行优选，得到当冶炼温度为1000时的合适加入量在“△”处.第二步，把纸横向对折，即固定元素加入量为100克，仍用单因素优选法对温度进行优选，找出较好点在“”处.第三步，比较“”处与“△”处的好坏，如果“”的好，那么沿着“△”点所在的郑条线粮开，留下较好点“·”所在的上半张（如果是“△”处好，那么裁掉右半张，留下左半张).在留下的矩形纸上，按上述同样的步 +-200 ==========第207页========== 骤，继续做下去，直到找到生产上满意的点为止， 【例4】某调味品中的一种原料，生产工序多，条件复杂.工人师傅遵照毛主席关于“要用全力找出它的主要牙盾”的教导，对其中一道关键性的工序一一水解，作汽压和时间双因素优选 优选范围是：蒸汽压2~3公斤/厘米；时间35~55分钟.应用对折法进行 (1)固定时间为45分钟，用单因素0.618法对蒸汽压进行了三次试验（图11-14）.试验结果表明，第3次试验效果较好， (焦汽压)8 kg/om ⑧0 2.8 ① 2 85 45 5(时同：分) 图11-14 (2)固定蒸汽压为2.6公斤/厘米2，对时间进行了五次试验（由于时间越长，效果越好，所以增做了第7，第8次试验).试验结果表明，以第8次为好 (③)比较第3和第8次试验结果，前一点比后一点好，所以去掉蒸汽压2~2.5公斤/厘米？一段，在留下的范围内继续优选 (4)固定蒸汽压为2.8公斤/厘米3，对时间进行了四次优选.试验结果表明，以第10次为最好.如果试验到此为止， ー201 ==========第208页========== 那么最佳水解条件是蒸汽压2.8公斤/厘米？，时间为43分钟. 2.从好点出发法仍以前述炼特种钢的元素加入量和温度为例.第一步，把温度固定在1618℃，即温度范围内的 0.618处，然后用单因素法对特种元素加入量进行优选，找出较好点“*”克（图11-1）.第二步，把元素加入量固定在较好点“*”克处，对温度进行优选，得较好点“△”度.然后再把温度固定在较好点“△”度处，对元素加入量再优选，得“口”克为好.如此继续，直到满意为止，这里从第四次开始，可以缩小试验范围.如图11-16所示，我们可以比较“”与“△”的好坏，如果“△”的好，那么可把1618℃以上的范围去掉.又比较“△”与“口”的好坏，如果“口”比“△”的好，那么可把“△”所在竖线的右边部分去掉.于是，试验范围缩小了许多，图11-16所示的阴影部分即为去掉的部分. 2000 2000"C 1618G 16180 1000"CL 10000L "1000克 000克 00克 图11-16 图11-16 【例】毛巾印花后需经高温固色.某针织厂工人在改革印花工艺过程中，为掌屋烘焙的温度和时间，用“从好点出发法”进行了十次试验，找到了较合适的固色条件. 试验范围是：时间15~45分，温度100~1400.具体步骤如下： (1)先固定温度为1250（即温度试验范围的5/8处），按0.618法选择时间，经三次试验表明（图11-17），当烘焙时 -202 ==========第209页========== 间为38分时，已比原来生产所用的时间45分钟好，暂定38分为较好点， 45外 89分 83.5分 28.6分 15分 10080 1260 186C1400 图11-17 (2)固定时间为38分，将温度分为八等分.用分数法优选温度， 第6次与第7次试验的效果相近，因此确定1350为较好点 (3)固定温度135℃，对时间再优选，希望生产时间尽可能短.试验结果是：26.5分与33.5分都符合质量要求.最后，正式采用135℃和30分钟的条件进行生产.实践证明，所生产的产品，颜色鲜艳美观，深受工农兵欢迎 3.平行线法如果两个因素中，有一个不易调整，那么可用平行线法.例如上述炼钢的例子，如果元素的加入量容易掌握而温度难调，那么我们可将温度先固定在1618℃（全长的0.618)处，用单因素优选法对元素加入量进行优选，得较好点在“*”处（图11-18），然后再将温度固定在1382℃（全长的0.382)处，又对元素加入量进行优选，得较好点在“△”处.比较“”与“△”处的好坏，如果“”比“△”好，那么 -203一 ==========第210页========== 把1000~13820的范围去掉.在利下的范围内，按依中对折的原则，做下去，直到生产上满意为止. 2000℃ 1618℃ 1382℃ 1000℃ 000克 2000党 图11-18 由上述可以看出，处理双因素的基本方法是化双因素为单因素，用单因素法进行优选。两个因素交叉进行，比较结果留下较好点，去掉坏点部分.这样往复，一次比一次更接近好点， 4.多因素问题如果遇到两个以上因素的优选问题怎么办？毛主席教导我们：“任何过程如果有多数矛盾存在的话，其中必定有一种是主要的，起着领导的、决定的作用，其他则处于次要和服从的地位。”因此，在解决多因素闷题时找们首先要找出问题中最主要的因素，把多因素问题化为双因素或单因素的问题来处理， 要抓主要矛盾，就要在党的领导下，依靠有实践经验的工人和贫下中农，调查研究，揭露矛盾，分析矛盾，确定试验项目.主要矛盾抓准了，优选法才能充分发挥作用.再通过大量的实践，达到解决矛盾的目的.因此，毛主席的群众路线，抓主要矛盾等光辉思想，是我们应用优选法的指路明灯， 例如，某厂生产农业上急需的磷肥，过去原料要依靠进口.通过无产阶级文化大革命，工人们决定采用国产原料进行生产.他们遵照毛主席关于“着重于捉住主要的矛盾”的救 -204- ==========第211页========== 导，分析了影响磷肥质量的各种因素和互相之间的关系，认为因素虽多，但温度与浓度是最为主要的因素.抓住了主要矛盾，它门们用双因素优选法做了四次试验，就得到了较为理想的方案，不仅提高了产量和质量，而且降低了原料消耗，达到了优质、高产、低消耗的目的. 三、特殊情况下的优选方法 1.对分法“不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。”我们介绍的单因素0.618法和分数法，都是在比较两次试验结果以后，才能决定试验范围的哪一部分可以去掉，哪 一部分应该保留.但在实践中，还会遇到这样一种情况：从一次试验结果，就可以判断出该试验点的取值是偏高了或偏低了.这种情况下用对分法安排试验，更为合适， 对分法，就是把第一个试验点取在预定试验范围的中点，该点试验结果如果说明取值过高了，就把比该点更高的部分去掉.如果该点取值过低了，就把比该点更低的部分去掉.然后取留下范围的中点继续试验.如此继续，直到满意为止 例如，某产品需用一种贵重金属，过去含量为16%，为降低成本，是否可以不降低产品质量面诚少贵重金属的含量呢？因为产品质量是有一定标准的，所以每试验一次，就可判断取值是高了还是低了.因此可用对分法.先试中点，即含量8%.如合格，那么去掉比8%高的一半.再试中点4%，如不合格，就去掉比4%低的一半。再试中点6%.如又合 @④③0 0 45684B 16氏%) 图11-19 ー205 ==========第212页========== 格，就再试4%到6%的中点5%（图11-19）.如仍合格，那么可以用6%进行生产 用对分法能优选的问题，虽然也可以用0.618法或分数法进行优选，但是由于对分法每次去掉一半，所以试验次数就比0.618法或分数法更少，而且取点方便.但事物总是一分为二的.应用对分法必须先有一个“标准”.对每次试验的结果，用“标准”来判别它的好坏，以便选取下一个试验点.因此，对分法的应用范围有很大的局限性 2.爬山法（逐步提高法）在生产斗争和科学实验中，某些被优选的因素不允许作大幅度的调整，或原有生产条件已经比较好，但还需要寻找更好的条件.在这种情况下，可以采用爬山法， 爬山法就是从某一点出发，前、后、左、右试探，那里好就向那个方向试验下去，这样一步一步前进，直到找到好点为止，所以爬山法也叫逐步提高法，也有叫做瞎子爬山法的 (1)单因素、我们举例说明如下： 生产豆腐，豆浆的浓度对豆腐的质量影响很大.某豆制品厂过去生产豆腐都是凭经验，质量不稳定.工人老师傅用单因素爬山法对豆浆浓度进行了优选 经测定，原有豆浆浓度为15个单位.以此为出发点，先向增大浓度方向试探.试验结果做出的豆腐质量都不好.于是向减少浓度方向试探.试验结果，豆浆浓度为14个单位比原有条件做出的豆腐质量好.再减少浓度，效果都没有14个单位的好.于是确定以14个单位浓度的豆浆生产豆腐.此后，他们又分别对其他因素进行优选.最后得到了生产豆腐的各项最佳技术指标，既节约了原料，又提高了豆腐质量，深受消费者的欢迎. -206 ==========第213页========== (②)双因素.设两个因素，则，允许周动的幅度是一个单位.我们借助于坐标法，说明双因素爬山法的方法.如图11-20所示.A(o,yo)是试验的出发点（通常总是 把原有的生产条件作为出发点).先向上爬一步，即在A(, o十1)处试，如果A1比A。的好，那么就取41为新的出发 点.如果A1比A4坏，那么在A0的右面，左面，下面（即在 A,A3,A4处)都试试.哪一个比A0好，就作为新的出发 点。如此继续，不断提高，直到满意为止.如果四面都不好， 当然A。便是最高峰了.整个过程如图11-21所示. (因II) 最好点 A1(,%+1λ Ao(oyo） A30 出发点 (因素) 图11-20 图11-21 小 结 1.优选法就是利用数学原理，合理安排试验点，减少试验的盲目性，以求又准又快地找到最佳值的一种试脸方法 2。单因素： (1)0.618法：先按公式“第一点=左端点+（右端点一左端点）×0.618”取第一试验点，再按公式“后一点=左端点+右端点一前一点”取第二试验点，然后比较这二次试验结果的“好”，“坏”，去“坏”留“好”，在留下的范围内按依中对折的原则，继续试验，直到符合要求为止， -207一 ==========第214页========== (②)分数法：当预定试验次数为区时，根据第194页表上所示，将 试验范围矿1等分，第一点取在处，以后按依中对折原则做下 去.区次试验后，就得到试验范围内Fx+1一1个等分点中的最好点.3。双因煮的三种方法一对折法，从好点出发法，平行线法的基本原则都是： 先固定某一因素，降双因素为单因素，优选得较好点；再固定另一因素，对前一因素用单因素法优选，得另一较好点（不同之处在于固定地方的取法不同)。然后比较这两个点的“好”，“环”，去掉坏点所在部分，留下好点所在部分、如此继续进行，直到满意为止 4.特殊情况下的优选方法. (1)对分法：如果所优选的问题存在一个“标准”，每试验一次就可以与“标准”相比较，分出“好”、“环”，那么可采用对分法.对分法每次都取试验范围的中点为试验点，如果试验结果表明该点取值高了，就把比该点更高的部分去掉；反之也一样。如此继续，直到符合要求为止 (2)爬山法（逐步提高法）：在因素不宜大幅度调整的情况下，可采用爬山法.它的方法是：从某一已知点出发，逐步摸素前进，直到符合生产要求为止， 第二节统筹方法 毛主席教导我们：“鼓足干劲，力争上游，多快好省地建设杜会主义。”在三大革命实践中，常常会碰到如何统筹全局，抓住关键，合理安排，多、快、好、省地完成任务的生产实际问题， 例如，造一间房子，有打地基，砌墙脚，做门档、窗档，砌墙，盖屋顶等工序.如果砌好墙脚后，再做门档、窗档，然后再砌墙，就会发生窝工现象。因此，一般总是在打地基和砌墙脚的同时，把门档、窗档做好，等到砌好墙脚，放上门档、窗档 208- ==========第215页========== 就可以砌情.文如在农村的夏收夏种中，广大贫下中农总是 一·面收割麦子，一面翻地插秧，交错地进行.如果等到所有麦子收割完毕后，再翻地插秧，就会延误农时，影响下季收成.一个较大的工程，工序很多，彼此之间互相关联，就更需要统筹全局，作出科学的安排，才能多、快、好、省地完成任务 统筹方法就是一种帮助我们作出科学安排的数学方法。在毛主席的革命路线指引下，它能在我们的社会主义建设中发挥一定的作用， 一、主要矛盾线和工序流线图 “一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。”统筹方法的第一步工作，就是要对某项工程（任务）的全过程进行调查与分析.调查的内容可包括：列举本工程的所有工序；工序与工序之间的衔接关系；每个工序所需的时间、人工 1 等.例如，某生产队要建造一座仓库，它的全部工序是：(1)平整场地，(2)挖土，(3)运沙石水泥，(4)浇混凝土，(6)养护，(6)做 门档、窗档，(T)运石灰与砖头，(8)砌墙，（⑨）准备屋面材料， (10)盖屋顶。每个工序用一支箭头表示，如平整土地，挖生盖屋顶等。这些工序之间的先后衔接关系，由表示它们的箭 头的衔接关系来表达，例如：平整场地后，一面挖土，一面运沙石水泥，再浇混凝土，然后养护，在养护的同时，做好门档、窗档，运石灰与砖头，于是开始砌墙，在砌墙完工以前要求准备好屋面材料，等到墙砌好，就盖屋顶.这样的先后关系，以及每道工序所需的时间（天数），我们用如下的箭头衔接关系来表达（图11-22）： -209- ==========第216页========== 若石灾，头 平整场地1挖土4 烧混挺土王养护2和湖墙3 盖座顶2 运沙石水3败门挡，挡准备壁面材科印， 图11-22 为了说明和计算的方便，在箭头箭尾处都标上号码.这样每道工序就可以用两个数字来表示，如图11-23中，①→②就代表“平整场地”工序，③-→④代表“运沙石水泥”工序， ⑩一→⑩代表“盖屋顶”工序，等等. 图11-24中，反映了一个有十二道工序的工程的全过程. ⑦ 图11-23 ② ③ ① 图11-24 210一 ==========第217页========== 从图上可以看出：工序③→⑨须待工序①→③与工序 ②③完工后，才能开工；而工序①→③，②-→③，②⑦， ④→⑤，④→⑥，⑧-→⑩的前面没有工序，因此，它们的开工日期不受前道工序的限制：而工序①→①，则要等到前面十 一道工序都完工后才能开工，它是本工程的最后一道工序 我们来看图11-26所示的工程.该箭头图上有一个起点 5 3 20.5 105-(④16 图11-25 和一·个终点.从起点沿着箭头前进方向直止终点，共有四条线路.计算每一条线路的时间（图上所标为小时数）.线路 ①3-②8.5-⑥5-⑧2-®8-⑩4-①共需时间3+8.5+35+2+8+4=60.6小时；线路 ①3-②25⑥05⑧2-⑧8⑩4-①共需时间3+2.5+20.5+2+8+4=40小时；线路 ①3©6-③臣④16-⑧2-⑨8-@4①共需时间3+6+19.5+16+2+8+4=8.5小时：线路 03-②6-③285-⊙15-⑧8-④8-①4-@共需时间3+6+28.6+1.5+2+8+4=53小时. -211- ==========第218页========== 时间最长的线路决定整个工程的工期.在这里，第·条线路所需的时间最长，即7天半（每天以8小时计算）.如果在这条线路上采取措施，提早一天完工，那么整个工程就可能提早一天完成.因此，这条线路成为整个工程的关键，我们把它叫做主要矛盾线，在图中常用红线或粗线表示.注上时间，算出并标明了主要矛盾线的箭头图，我们把它叫做工序流线图.读者试找出如图11-26所示工程的主要矛盾线，并计算它的工期（图上所标为天数）. ①2一②3-9-⑩0国1→8® 71 ⑦3+⑧-6⑨ 图11-26 通过计算可以知道，该工程的五条线路中，线路 ①2⑧3-09-⑩10①1④8*④所需的时间最长，它是本工程的主要矛盾线，工期是40天. 二、计算时差 非主要矛盾线上的总工时，比主要矛盾线上的工时少，这说明，它可以允许某些工序适当延迟开工.例如图11-26所示工程的工序③→④，可以迟三天开工，或少放些人力、物力，而适当延长工时，以支援主要矛盾线.这个潜力究竞有多大？能否有个数量表示？胸中有“数”。这是说，对情况和 -212- ==========第219页========== 问题一定要注意到它们的数量方面，要有基本的数量的分析，在这里，计算时差就是提供一个数量分析的办法.所渭时差，就是指最迟必须开工时间与最早可能开工时间之差.我们以图11-26所示的工程为例，说明怎样来计算时差. 每一道工序必须等它前面的所有工序完成之后，才能开 工.因此有一个最早可能开工时间，我们用T象表示。例如 ①→②，③-→④前面没有工序，所以T=0.我们用记号 [0标在该箭头下面.工序②④必须在工序①→②完工之后，才能开工（以后我们就把紧接在某工序前（后）面的工序，叫做该工序的紧前（后）工序，这里工序①②就是 ②→④的紧前工序，而②-④就是①→②的紧后工序)，它的'单是2天以后.又如，工序④-→@，必须在②→④与 ③④两个工序都完工之后，才能开工，显然它的T象是5天 以后. 一般说来，每道工序的最早可能开工时间的计算公式是： T=紧前工序的T,+紧前工序所需时间 如果某工序有两道以上紧前工序的话，那么要按所有紧前工序中的最大数计算 计算各道工序的T总是从起点开始，顺着箭头方向，依 次进行.如②-→④前面的紧前工序上有一道①②，它的 T=0+2=2天.工序①-→①的紧前工序有两道：④@ 和⑦→0. (工序④→⑩的T.)+(④-→①所需时间)=5+9=14天； 而 (工序⑦→⑩的T)+(⑦→@所需时间)=0+4=4天 所以工序⑩①的最早可能开工时间是14天以后.其 他各工序的T。不一一计算，结果如图11-2”所示， -213 ==========第220页========== ③ 1⑥ 回 ☒ 国 四 团 3⑧可⑦ m⑨ 回 3 图11-27 知道了每个工序的最早可能开工时间，就可以提前做好开工准备工作，真正做到“不打无准备之仗” 如何计算最迟必须开工时间呢？主要矛盾线上的总工时，决定着整个工程的完工日期.一道工序，如果某个时刻还不开工就要影响总工程的如期完成，这个时刻就是最迟必须 开工时间，我们用T表示.在上例中，因为整个工程要9天 完成，最后一道工序②→⑧需8天完成，所以工序②→③的 T地是39一8=31天后的第一天，即第32天再不开工，就会影 响整个工程的完成.我们用金标在工序流线图中的该箭头下面.那么工序⑨→②的Tg如何计算呢？它本身所需的时间是7天，而紧后工序②→⑧的Tg是31天，显然这两数 之差，31-7=24天即为工序⑨→@的T巡. 一般说来，T运的计算公式如下： 里=紧后工序的T这一本工序所需时间. 因此各工序T超的计算，我们总是从终点开始，逆箭头前进方 向依次计算，直到各个起点.它和T计算的顺序正好相反， 按照上述计算公式和计算次序，图11-26所示工程的各工序的1'遇计算结果如图11-28所示. 我们把每个工序的最迟开工时间与最早开工时间之差，叫做时差.例如⑧-→⑨的时差是18-3=15. -214 ==========第221页========== 回A ⑤1可2 ④面金 2 -10 8 OA 回A 回盒 国 函A ② 团A ⑧ 6回色☒血⊙ 图11-28 从上述计算可看出，主要矛盾线上各工序的时差都是零：而时差不为零的工序，时差越大，说明潜力越大.如工序 ③→⑤的时差为21，它可以延迟21天后才开工，在21天以前把人力、物力去支援主要矛盾线，以缩短总工期. 通过时差计算，我们只要把时差为零的所有工序连起来，就得到了主要矛盾线.这也为我们提供了寻找主要矛盾线的较为简便的方法 对于较复杂的工程，计算时差可以利用表格进行，以免漏算、出错.如上述工程的计算，可以列表如下： 开工时间计算表 工序编号 开 时 间 差 本工序时间 时 箭尾号箭头号 T绿 T8 T超一T限 1 2 0 0 241 0 10 2514540112385677811213456120892390788415436004500302544346130165661015389400003133101515 2 5 -215一 ==========第222页========== 三、平行作业和交错作业一一零箭头的应用 画出了工序流线图后，我们就可以对主要矛盾线上的工序采取一些措施，以达到缩短工期的目的.下面我们以平行作业和交错作业，来说明零箭头的应用. 1,平行作业平行作业就是把一道工序拆成几道同时平行进行，以缩短工期.例如挖沟，可以两头同时挖；又如修理机器，有的机器拆开后可以分两部分同时修理，修完了，再装配试车 在工序流线图上，要反映平行作业的情况，需要用到零箭头。例如上面所说的修理机器，共有五道工序： 甲修 拆卸乙悠装配，试车 在“拆”、“装”之间的修理是分成两个任务同时进行，如果我们画成 ① 2 图11-29 那么②→③将同时代表两个任务了.这显然没有确切反映工序间的关系.这时可以运用零箭头， 零箭头就是用→表示虚设任务，所需的时间为零.上面的箭头图可以画成如图11-30所示. 乙 ③ 图11-30 ー216一 ==========第223页========== 这样，从图上可以清楚地看出，在“拆”与“装”之间有两个任务：②→⑤与③→⑥，分别表示甲修、乙修.上面的图也可以画成如图11-31所示. 0 图11-31 又如，图11-32中的@→@工序，改为平行作业，分成三个任务同时做，就可画成如图11-33那样. ⑩ 0 10 14 0 ® 3 图11-32 图11-83 2.交错作业交错作业就是相连的几道工序交错地进行.例如插秧季节，贫下中农为了不误农时，争分夺秒抢时间，把插秧的四道工序：耙田、抄田、划淌田、插秧交错进行，他们把原来的四道工序： 0花田-0抄田O刻消田0菊执0 图11-34 分为两段交错作业.我们可以画成如图11-35所示： 0 0 0 0 插秧②O 图11-35 一217一 ==========第224页========== 如果分三段交错作业，是否能画成如图11-36所示的流线图呢？ O把心 一0刘满O插跳() 0 0 0 肥（② 梦（②） 划满② 0 0 把③) 秒(3) 插秧3)一G 图11-36 严格地说，这样画是有问题的.因为从图中看，起⑧在秒四之后再进行，③在刘游巴 之后进行，…事实上不一定这 样，所以正确的画法应当是如图11-7所示， 秒(3) 划（③） 换3)O 图11-37 通过平行作业与交错作业的画法，可以看出，运用零箭头对于我们确切表示工序间的颗序关系是很重要的.否则，在计算时间、人力等方面，容易产生误差. 四、人力安排和工程进程一横道图 抓住了主要矛盾线，有了工序流线图，挖掘了各个工序的潜力，就可以对人力作出适当的安排，从而作出工程进度表. 某工程的工序流线图和时差计算结果如图11-38所示. -2|8一 ==========第225页========== ② 2 ⑤ 可A 1 ① 3 可△ 可A 回金 2 2 4 图11-38 我们以该图为例，说明如何作出人力、时间的统筹安排. 如果每道工序所需的人力数如下表所示： 工序133~667 78144623 2557 所需人数5 6 4 8 2 3 4 4 4 时整 0 0 0 3 2 9 9 如果每道工序都以T,的时间开工，那么每天所需人力数和 进度减可以用下列横道图（也叫条形图）来表示： 所需人数 时 间 (天) 序 12345678910111218 1~5 5 36 6 67 7~8 8 1~4 2 4~6 3 2~3 4 25 57 所需劳力数总计1511129666444448 一2}9- ==========第226页========== 人数常常是有限的.假使可供安排的劳力只有9人，那么，从表上看出，第一、二、三叁天所需的人数已超出了客观可能.这就需要充分挖掘潜力，以保证在现有劳力的条件下，争取如期完成任务.前面说过，时差最大的工序潜力最大，我们就把时差大的工序尽量往后延.例如，把工序②→⑤，⑤→⑦往后移，照Ts的时间开工，就可以把第一、二两天的人数减少到11,7人，再把工序①→④，④→⑥推迟到Ts时间开工，就解决了劳力不足的困难 经过调整以后的人力、时间安排如下： 时 间 (天) 工.序 所需人数 12345678910111213 18 6 36 67 4 7≈8 8 14 2 46 3 23 4 25 57 4 所罱劳力数总计9558899448888 用上述“时差大的工序往后延”的原则，一般只能得出较好的安排，而不能保证得到最好的安排。读者可以看出，第 八、九两天每天所需劳力仅4人，如果工作允许8人同时进行 一220- ==========第227页========== 的话，那么一天就可完成任务，整个工期又可缩短一天 在实际工作中，各项任务需要不同工种的劳力，例如在工业生产中，有水、电、泥水等工种：在农业生产中也有轻重劳力的不同，我们可用上面的方法，分别作出横道图. 【例】祖国江南农村，每年早稻插秧与夏收夏种季节，农活集中，时间紧，某生产队的贫下中农，根据实践经验，于1974年应用统筹方法，仅用了八天半时间就完成了121亩绿肥田的插秧任务， 下面是该生产队作的插秧工序流线图*（图11-39）和横道图. 21工 4工 -O 2工 上用族 26工 0 解武0 ○20月雨竞成) 爬田 秒田 刘淌田 浙秧 13人) (2牛6人9 28工 206工 6.6天 6天 0 框拉机保养 每天2人1机 植保 每天5人 附业生产（机动）每天20人· 图11-39 为了缩短工期，对主要矛盾线上的几道工序采取了交错 ·该生产队采用小苗育秧，鍬秧、捧秩就是从场地上起快。 -22引→ ==========第228页========== 作业，劳动力安排如下： 劳动力统筹安排图（计刻） 任 期H洲21 22 28 24 26 28 2 % 务 划濑田 4 4 上田整 1962 2 2 2 插秧 45 46 46 463236853 (锹、捧、送) 运施肥 20出 其他 12 植保 8 6 6 6 6 6 5 6 秒田 2牛2牛12牛2牛2牛21牛8 3 3 8 881 粑田 1机1机1机1机1机1机！ 机保 22 1机1机1机 出勒人数 64846464】6484 8464 注：(Q)21日前，田已全部耕好，并把过一部分， (②)粗线条上的数目表示人数，睫线表示人力转移(③)在插秧人数中，有3人缴秧，3人秧，6人运秧(④)副业生产20人不在内， 在进行过程中，有一天下雨，给运秧、插秧工作带来困难，进度慢了下来.生产队长根据这个情况，增加了运秧、插秧的人力，从而保证了插秧任务的如期完成。劳力的实际安排如下： 222 ==========第229页========== 劳力实除安排围 人 期2日前21 22 23 24 26 26 2 28 29 划淌田 4 4 4 4 2 ,上田婺 18 1 1 插秧 45 60 86 58 80i8z8316 C锹、排，送) 运施肥 16 其他 12 植保 5 66 秒田 6 6 2 2 2 2 粑田 3 3 3 3 3 2 机保 2 2 出勒人数 6363686066676网67 注：(1)比计刘多的劳力是从副业队抽来的. (2)29日上午是秧田插秧. 上面所介绍的，每一任务完成的时间都是肯定的.但不少问题是完成时间不能肯定的.对这类非肯定型的问题，可以化为肯定型来处理。我们先估计出三个时间，即：最乐观的估计，就是最快多少时间能完成：最保守的估计，也就是最慢什么时间能完成：最可能什么时间可以完成.然后把最乐观的估计加上最保守的估计，再加上最可能的估计的4倍，除以 6.得到平均数，然后按照肯定型的方法来处理.例如完成下面的任务，最少6天，最可能7天.最多14天，可画作 6-7-14 ② -223一 ==========第230页========== 我们根据上面所说的方法，以 言(6+4×7+14)-8 作为平均数，然后根据肯定型的方法进行.这个求平均数的公式，我们可以作为经验公式来应用.但必须注意，用这样估算得出来的总的完成日期，只是一个可能完成日期，确切地说，这个期限内完成的可能性是0%， “群众中蕴藏了一种极大的社会主义的积极性。”应用统筹方法，不论是对工序、时间和人力的确定，还是对计划的执行，都必须牢记党的群众路线，紧紧依靠广大群众“一般地说来，不论在变革自然或变革社会的实践中，人们原定的思想、理论、计划、方案，毫无改变地实现出来的事，是很少的。”群众发挥了冲天干劲，开展了技术革新，就有可能改变原订计划，甚至使主要矛盾线转化为次要矛盾线.因此，必须随时注意新情况的出现，及时修订计划，务使工程能多快好省地进行.在具体工作中应用各种数学方法，可以使我们胸中有数，从而取得比较好的效果。但我们必须牢记毛主席关于“路线是个纲，纲举目张”的教导，建设社会主义，主要依靠广大群众执行毛主席的革命路线.我们只有认真学习无产阶级专政的理论，提高执行毛主席革命路线的自觉性，才能使一切工作不断取得胜利， 小 结 1.统筹方法是一种为生产建设服务的数学方法，我们必须繁紧依:群众，在调查研究的基础上，根据某一工程的所有工序，画出箭头图，注上时间，标明主要矛盾线（所需时间最长的线路）。注意零箭头的应用.这样的箭头图叫做工序流线图 2.所有工序都有一个最早可能开工时间和最迟必须开工时间， -224 ==========第231页========== 它们的计算公式是： T阜一紧前工序的T十紧前工序所需时间， T迟=紧后工序的T这一本工序所需时间. 3.最迟开工时间与最早开工时间之差叫做时差.时差越大的工序说明潜力越大.主要矛盾线上的工序，时差都为零 4,根据工序流线图，可以作出劳力与工程进度的安排，这种安排通常用横道图米表示。 -225- ==========第232页========== 第十二章数理统计方法简介 伟大领袖毛主席教导我们：“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面，要有基本的数量的分析。”我们从事一切工作，都要胸中有“数”，这就需要我们深入实际，向有实践经验的工农兵学习，收集能表示事物性质的各种数据，并对它们作出分析，得出结论，譬如通过实践、总结，我们知道，某早稻品种一般每穗是56~65粒，千粒重是25克左右，出米率是72~73%,全生育期是115~120天等等.这样，我们就比较深刻地认识了这个品种，并能主动地去改造它， 数理统计方法就是在劳动人民长期实践的基础上，总结和发展起来的一一类数量分析的方法.在这一章里，我们将简单地介绍儿种在工农业生产中常用的数理统计方法. 第一节平均数、误差、平均偏差平方和 一、平均数 平均数在三大革命实践中的应用很广，例如，生产队的平均亩产量反映了生产队的生产水平，大队的平均亩产量反映了全大队的生产水平；“九二○”农药的浓度就是平均每毫升中所含的有效单位数：某一地区的气候干湿程度，只要看那里的年平均降水量的记录就可有所了解，等等. 一般说来，经过调查研究，得到一批数据少，y,…,。 一226- ==========第233页========== 共%个，那么它的平均数就是 -是6+物+…+) 如果我们把 1+y9十…十ym 记作，这里符号Σ（希腊字母，读作西格马》表示求和的意思，会读作Σ一y,由1到，表示从h加到，的和，那么 二、误 差 平均数的另一用处是同误差联系在一起的.什么是误差呢？我们举一个例子来说明 某公社有11块油菜试验田，面积都是一亩，土地条件基本相同，种的是同一品种，它们的亩产量如表1. 表1 田块号 9 10 11 产量322307327 341 359 321 320 304 335 265 319 从表上可看出，每块田的亩产量并不相同，但相差也不太大.如果按田块号的次序把11个亩产量点在一个直角坐标系上（如图12-1），便可看到，这些产量不但高低不一，并且它们之间的差异也是不规则的.如果我们在另外11块试验田上重复这一试验，不论采取什么样的措施，使生产条件尽可能相同，结果产量总不能完全一样，而是有差异的.引起差异的 -227一 ==========第234页========== 原因很多，诸如种子间的差异，田块土质、肥力和位置的差异， 栽培管理的差异，以及自然条 950 件如气温、日照、风、雨、病、虫的差异等等.各田块产量的差 产斤) 异就是这一切差异的影响.一般说，任何科学试验的观测结果总是有差异的 在长期的生产实践中，人 10 田块号 们认识到，虽然影响产量的因 图12-1 素很多，但各种因素对产量影 响的大小并不都是一样的.如果从这些因素中挑出一些主要的因素加以控制，使它们固定不变，那么，从理论上来讲，这些因素对产量的影响也是固定不变的，我们把这固定值叫做产量的真值 而其他一些次要的因素就听凭它们随机变化，不加控制(有些因素，如气温、日照等也无法控制)，因而它们对产量的影响也是随机变化的，是一个变量，我们把这个变量叫做误差。这样看来，一个产量可以看成是一个固定的真值加上 一个变化的误差.任何科学试验的观测结果都可以这样分析，即 观察值=真值+误差 观察值所以有差异就是因为有误差的缘故， 实践证明，误差是有规律的，掌握了误差的规律，真值就可以估计出来了.误差的规律是： (1)误差值可以为零（零误差），可以小于零（负误差），也可以大于零（正误差）； -228一 ==========第235页========== (2)绝对值小的误差较绝对值大的误差更容易出现： (3)绝对值相同的正误差与负误差，出现的可能性相等： (4)观察值的个数越多，误差值的代数和越接近于零根据误差的规律，很容易得到下面这一事实： 一个量的真值可以用它的个观察值的平均值来近似表达，并具%越大，近似程度越妊 因为根据上述误差的几个特点，如果把所有的观察值加起来，正误差与负误差就基本上抵消了，只留下真值的和，如再除以观察值的个数，就得到了真值 但是应该注意的是，在实际工作中，由于观察个数”不可能无限大，平均观察值也不可能就是真值，它只是真值的一个估计，因为它本身还可能包含一个较小的误差 以表1为例，我们算得油菜亩产量的平均观察值 5-品含%-2+807++319-20-30（斤.11 11 由上所述，我们以320斤作为油菜亩产量的（真值）估计 对同一长度或同一角度进行多次重复测量，由于误趋的影响，测量结果也会是不同的.用平均值来估计被测量的长度或角度的真值，是测量工作中最常用的数理统计方法 【例1】用同一把钢尺，把一段距离反复丈量10次，其结果如下（单位为米）： 29.990.29.991,29.996,29.993,29.999, 29.995,29.998,29.994,29.995,29.990. 试估计这段距离的真值 解：这段距离的真值估计为 229 ==========第236页========== 0×(29.990+29.991+29.996+…+29.990) -능x28.91-2.94(米) 【例2】某生产队贫下中农在农业学大寨运动的推动下，进行了一系列的晚稻良种试验.表2记录了九个良种的试验产量，每一良种在三个条件基本相同的小区上重复试验，每一小区的面积是0.035亩.试评定各良种产量高低的位次. 表2 小区产量斤) 平均 折合亩产量产雄 品种 台计 2 5 量 斤) 位次 1 25.0 26.0 23.0 74.0 24.7 705.7 5 2 27.5 31.0 26.0 84.5 28.2 805.7 2 3 20.0 22.0 20.0 62.0 20.7 591.4 8 4 26.0 25.0 25.0 76.0 25.3 722.8 4 5 28.0 26.0 28.0 82.0 27.3 780.0 3 29.0 28.0 28.0 85.0 28.3 808.6 1 7 23.5 21.5 23.0 68.0 22.7 648.6 16.5 16.5 11.5 44.5 14.8 422.9 9 22.0 24.0 23.0 69.0 23.0 657.1 6 解：我们把计算结果和产量高低的位次都列在表2上由表2我们看到，品种6产量最高，平均亩产08.6斤，位列第一，品种8产量最低，平均亩产422.9斤，位列第九. 三、误差的估计与平均偏差平方和 在农业生产中，我们对优良品种的要求不但是高产，而且还要稳产.所谓稳产就是指某一作物品种在基本相同的生产 ー230 ==========第237页========== 条件下，单位产量不要相差太大.用误差的观点来说，要求稳产就是要求误差要小.因为 误差=观察值一真值， 而真值，可以用平均观察值来估计，所以误差约为 观察值一平均观察值. 今后，我们把 视察值一平均观察值=一罗 (1) 叫做偏差。偏差就是误差的估计、 【例3】某单位为了寻找高产稳产的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田上试种，每块试验田的面积为0.08亩，收得产量如表3.试评定哪一个品种既高产又稳产， 表3 小 区 产 量 斤) 平均产盘 品 种 1 2 3 5 斤) 1 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9 21.0 21.3 23.6 18.9 21.4 19.8 21.0 3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.9 20.5 解：我们先算出三种油菜品种各自在五块试验田上的平均产量，然后按()式求得偏差，即误差的估计，如表4， 表4 小 区 产 盘 偏 差 品 种 1 2 3 4 5 1 0.5 -0.6 1.0 0.2 -1.1 2 0.3 2.6 -2.1 0.4 -1.2 -2.7 2.8 0.9 -1.4 0.4 23引一 ==========第238页========== 从平均产量来看，品种1和品种2都是高产品种.但是从它们的偏差却看不出哪一个是稳产品种.这是因为每一品种有五个偏差，高低不一，不便比较.最好我们能把每一品种的 五个偏差概括起来成为一个数字，比较就方便了.我们经常用平均亩产量来比较生产队的生产水平，这里能不能用平均偏差来比较稳产程度呢？我们来看一看各品种的平均偏差，设x1,x2,x3分别代表上面三种品种的平均偏差， 금0.5+(-0.0)+1.0+0.2+(-1.1)]-음-o, 0.3+2.6+(-2.1)+0.4+(-1.2)]-음-o -号[(-2.)+2.8+0.9+(-1.+0.-g-0. 三个平均偏差都是零，那么，能否说这三个品种是同样好的稳产品种呢？显然不能. 因为，事实上任何一组n个数据的平均偏差都是零.要克服这一缺点，必须设法撇开偏差的正负号，撇开正负号的办法很多，我们这里只介绍其中的一种，就是把每一偏差平方，不管原来的偏差是正还是负，平方后都成为正的了，我们把全组偏差平方的和，除以和式中偏差平方的项数饥减1的结果，叫做平均偏差平方和，用符号表示，把和式中偏差平方的项数减1，即n一1，叫做自由度. P=马含-识 (2) 是反映一组偏差之间差异大小的一个统计数字，差异大，的数值大，差异小，$的数值小.一殷，我们就凭2的大小来判别一组偏差之间差异的大小 设以号，始，酷分别代表上面三个油菜品种的平均偏差平 -232- ==========第239页========== 方和， 1 76-台×t0.)°+(-0.6+1.02+0.22+(-1.1门4×[0.26+0.36+1.00+0.04+1.21]=2.864 =0.72, 号=6×0.3驴+2.+(-2.+0.4+(-1.2=12.86=8.22, 1 号=6二×[【《-2.7y+2.8y+0.9y+(-1.4+0.4]=18.06-4.52. 4 可以看出=0.72最小，所以油菜品种1的五个偏差之间的差异不大，也就是五个小区的产量比较接近，因而它是稳产品种：号=4.2最大，所以油菜品种3的五个偏差之间的差异较大，五个小区的产量比较分撤，因而它不是稳产品种、结合以前的讨论，我们认为油菜品种1是既高产又稳产的品种.上面82的计算是先求出偏差，再按公式（②）计算的.下面我们再介绍一个求82的公式. 设有n=5个数据，y,y,y4,5,它们的平均数 y-会郡么 (1-y)2=y7-21+y2, (y2-y)2=5-22+y2, (-9)2=32-2y6+92 等号两边分别相加，偏差平方和 -233 ==========第240页========== ーアー(0++…+93)-2(0+。+·…+)+ 一ー2・+53-ー2y-y+的 -网-含--含-图八 于是 「금（公ッ）] 对于任意的正整数%，我们有 [-宫八 (3) 以表3中油菜品种1的五个数据为例， 2-(21.62+(20.42+(22.0)+(21.2)+(19.9)2 =2207.86, (会°-(21.5+0.4+2.0+21.2+19.0-(100 =11025.00, ()。11502.0。5 于是 2207.86-2205.00 4 =2.86-0.72. 4 结果与以前按公式(2)求得的相同. 【例4】根据表5中的数据，试用平均数与平均偏差平方和来评定机床甲、乙的性能. 234 ==========第241页========== 表5 每天出废 天 数 f1xy 2×y 1×P f×y9 品数y机床甲 机味乙f 0 6 8 0 0 0 0 1 15 11 15 11 15 11 2 9 7 18 14 36 28 的 0 4 0 12 0 36 总和 33 37 51 75 解：我们将两机床每一废品数乘上相应的天数，写在表5的第四、第五列，然后相加得30天废品总数.如果再除以总天数，那么就可得到平均每天废品数.表5的最后两列是每 一废品数的平方乘上相应的天数，每一列的和等于会听， 33=1.10(件)， 30 37=1.23(件). 再按公式(3)计算，得 =×[51-]-1-38.0)=0.51，号2×[5-]-马5-45.63)-1.01. 由此看出机床甲不但平均每天所出的废品数少，并且每天所出的废品数变异不大.说明它的性能比机床乙好 在这一节里，我们讨论了平均数和平均偏差平方和.它们是依据实地观察得来的数据计算出来的两个统计数字，也是数理统计中两个基本概念，它们有着广泛的应用，希望读者能掌握它们的意义并熟练各种计算方法， -235- ==========第242页========== 小结 数理统计方法就是把大量实地观测得来的数据进行分析研究的一种数字方法.误差的研究是数理统计方法的内容之一， 数据总是有误差的，误差值在零的左右波动，观察所得的数据越多，误差的代数和越接近于零。误差可以用偏差来估计， 平均数和平均偏差平方和是两个基本统计数字： ()平均数可用来表示一组数据的平均水平，估计一组数据的真值.计算公式是 9-日名 (②)平均偏差平方和可用来描述数据在平均数附近被动的情况，计算公式是 习 题 1.什么是平均数？试结合具体例子说明平均数的作用与意义，2,什么是误差？怎样估计？误差具有哪些特性？在实验燥作过程中，凡需要刷定一个量时总要求重复髋量几次，这是为什么？3,为什么不能用平均偏差来比较稳产程度？ 4,什么是平均偏差平方和？试结合具体例子说明平均偏差平方和的作用与意义， 5,某养猪场对35头猪过磅.重量（斤）记录如下： 116,118,127,120,124,123,108,120,122,119,130,110,117,109,121,124,111,117,125,134,150,117,121,120,120,119,113,121,123,124,116,118,132,122,124 计算它们的平均数及平均偏差平方和 6.某工厂利量500只灯泡的寿命（单位：小时），记录如下： 236— ==========第243页========== 华 命 45055065075085095010501150 只 数 25657910892763421 计算它们的平均寿命 7,试比较表2中九个晚稻品种的稳产程度 第二节试验设计 农作物的生长过程是一个复杂的过程.为了提高产量，不但要选用良种，还要根据农作物生长的内在规律，提供合适的土、肥、水等生长条件，做好栽培管理.但是如何选择和培育良种，又如何根据农作物的生长规律，寻找适当的栽培管理方法呢？那就得“一切经过试验”.田间小区科学试验是研究和解决这类问题的有效方法.通常，我们对小区试验的结果进行分析比较，得出结论，然后到大田去验证；在反复试验，取得经验之后，再作大面积推广， 一、做试验要注意的儿个问题 1.试验要有针对性在做试验之前，首先要明确试验的目的，针对这一目的，挑选出一个或几个最有影响的因素作为考察对象.我们把考察的对象叫做因子.每一因子可以选择几种状态，一种状态为一个水平.比如在一个比较三个水稻良种的试验中，种子就是试验的因子，它有三个品种，即三个水平.如果不再考察其他因素，这就是一个单因子三水平的试验，以后简记为3试验，其中 237- ==========第244页========== 因数 水平数 又如在另一个使水稻增产的栽培试验中，我们考察三个因子，即根外施肥的种类、施氨肥数量和行、株距规格.根外施肥的种类取两个水平：（①）喷施自制“九二○”生长激素，每亩一斤；（②）喷施腐植酸铵，每亩二两.氮肥用量取两个水平： (1)每亩20斤；(2)每亩25斤.行、株距也取两个水平：(1)4寸×4寸；(2)5寸×4寸.这是一个23试验.我们可把因子和水平列表如下： 表6 因 根外施肥 施氨肥 插植规格 水 子 平 A B C 1 920 20斤/亩 4寸×4寸 2 腐植酸铵 25斤/亩 5寸×4寸 2,田块的选择土壤对农作物的影响很大，因此，试验田田块的选择很重要.例如，在比较三个水稻高产良种的试验中，三个品种一定要种在条件尽可能相同的田块里.否则，在分析试验结果时，将分辨不出产量的高低是由于品种的好杯呢，还是由于田块的差别.试验田的田块以地势平坦，肥力均匀，位置适当为宜.屋边田由于房屋的遮阴，日照、雨、露均受影响；路边田易受人畜践踏，它们均不适宜作试验田、有的田块虽然肥力并不均匀，但是如果做一些适当的安排，仍可 -238一 ==========第245页========== 选作试验田.例如，有一块田的肥力趋向是北高南低，试验田块沿南北方向划分，使每一小区田块的肥力都是北高南低，这样，田块的肥力条件就基本一致了，见图12-2.前茬作物不同，也会造成土壤肥力的差异.如果一块田东西两边的前茬作物分别是稻秧和绿肥，那么试验田块的划分宜沿东西方向，见图12-3.经验证明，选用狭长的田块比选用方形的田块，肥力所造成的试验误差要小， 高 土壤肥力趋向 试验用试验田试验田 低 12-2 试验田块 绿 试验田块 试验田块 图12-3 3.栽培管理条件在田间小区试验中，除规定的因子和水平外，其他栽培管理应尽可能相同，否则也会影响对试验结果的分析 4.重复试验田间小区试验如同其他试验…样，试验所得的数据总是有误差的，为了减少误差的影响，提高试验结论的可靠程度，在人力、物力允许的条件下，可同时安排三至 五次的重复试验. —239- ==========第246页========== 二、田间试验设计 田间小区试验还有一项准备工作，就是如何安排试验，我们把这项立作叫做试验设计.试验设计得好，试验次数不多却可以得到满意的结果；设计得不好，次数多而结果却不一定好，甚至失败.如何设计试验是一个十分重要而又比较复杂的问题.下面介绍几种常用的设计方法， 1.对照试验设计毛主席教导我们：“有比较才能鉴别。”在做品种试验时，我们往往用一对照品种作为比较的标准。一般总以在本地已栽培多年，对它的生长、发育及栽培管理等比较清楚的稳产高产品种，作为对照品种.待试验的新品种采取与对照品种同样的栽培管理方法.在做栽培技术的试验时，可以本地常用的效果较好的栽培方法作为对照方法进行比较.这种有对照的试验叫做对照试验.对照试验的田块安排方法叫做对照试验设计.下面，我们举几个具体例子 【例1】在一个比较三个水稻品种的32试验中，品种1和2是被试验的新品种，品种3是对照品种.我们把对照品种的田块插在其他两个品种的田块之间，如图12-4，这样可使对照品种和其他品种的土壤条件更为相近.田块四周要留出保护区，图中每一小块内的数据为折合亩产量（斤）.把品种1、2的亩产量与对照品种3的亩产量进行比较，品种1与 保护区 1 3 e 对照品种 781.0 657.1 595.2 图12-4 ー240一 ==========第247页========== 对照品种的亩产量的比值是 781.0÷657.1=118.9%, 品种2与对照品种的亩产量的比值是 595.2÷667.1=90.6%, 由此可见，品种1的产量比对照品种高18.9%；品种2的产量比对照品种低9.4%.显然，品种1的产量较高.但应该指出的是：这是在采用适合对照品种的栽培管理方法下得出的结论.如果采用适合品种1或2本身的栽培管理方法，那么，它们的产量可能还要高些，这就需要作进一步的试验了， 【例2】在另外一个水稻品种的试验中，共有七个品种，记作品种1,2，…，7，其中品种7为对照品种.要有七块土壤条件基本相同的试验田是比较困谁的，为此，我们采取重复试验的办法.仍用对照试验设计安排田块，如图12-5，图中每一小块内下面的数据为折合亩产量.这是一个？试验，总共做了27次，其中对照品种重复了9次，其他品种重复了3次、现在根据所获得的数据，分析各品种的优劣如下：以品种1为例，在第一次重复中，品种1的亩产量与对照品种亩产量 1 对 2 对照 720 760 600 880 840 800 020 760 3 对照 对 2 60 860 920920 00 720720 760 80 护区 对照 对 2 900 68000 840800 880 800 880 . 图12-5 ー241一 ==========第248页========== 的比值是 720÷760=94.74%, 在第二次重复中，这个比值是 800÷840=95.24%, 在第三次重复中，这个比值是 720÷760=94.74%. 对这三个比值求平均值，得 名×04.74%+95.24%+94.74%)-9490% 这就是说品种1的亩产量比对照品种的亩产量平均约低 5.1%. 将各个品种与邻近的对照品种亩产量相比的结果列表手下： 表7 各品种与邻近对照品种亩产量的比值(%) 复 1 2 3 5 6 94.74 105.20 109.09 104.55 120.C0 85.00 n 95.24 95.24104.76 95.24 115.00 90.00 mI 94.74 105.20 110.00110.00 115.00 95.00 均 94.90 101.88 107.95 103.26 116.67 90.00 位 次 2 3 1 6 从表中计算的结果可见，品种5最优，品种6最差.我们可以对每一品种的亩产量作一估计.以品种5为例，我们先计算九个对照品种的平均亩产量242 ==========第249页========== 号×(T60+840+800+880+800+760+800+840+800) =7280=808.9(斤)， 那么，品种5的亩产量的估计值是 808.9×116.67%=942.8(斤). 读者可能要问：为什么不取品种5三次重复试验的亩产量的平均 1(920+920+960)=983.3(斤） 作为它亩产量的估计值呢？当然我们也可以这样做，问题是怎样做更为好些.因为前面的做法取用了12个数据一对照品种的平均亩产量是根据九次重复试验得来的，116.67%是三个比值的平均，所以从误差的观点来看，942.8斤的估计值应该比只用三个数据估计出米的933.3斤来得可靠， 2.拉丁方试验设计图126是一个3×3的拉丁方.它的（横）行数和（纵）列数都是3，在每一行或每一列中，数字1,2,3都正好各出现一次.由宁最初排这种方形不是用数字而是用拉丁字母，所以这种方形也就叫做拉丁方.方形的行（列）数叫做拉丁方的阶 这里要注意，数字1,2,3在每一行和每一列中正好各出 2 ☒126 图12-7 243- ==========第250页========== 现一次，否则，就不是拉丁方，比如图12-7就不是一个拉了方. 拉丁方的排法很简单.以4×4拉丁方为例，把数字1，2,3,4依次沿着顺时钟方向写在一个圆周上 2 3 2 3 图12-8 图12-9 第一行由1开始，沿着箭头得1,2,3,4.第二行由2开始，沿着箭头得2,3,4,1.第三行由8开始，沿着箭头得3,4，1,2.第四行由4开始，沿着箭头得4,1,2,3.这样就得到 一个拉丁方，如图12-9.如果把它的任意两列（行）对换一下，就得到另一个同阶拉丁方（表8所用的拉丁方就是把图12-6的第1、2两列对换而得来的)。拉丁方可在一些数理统计用表中查得. 那么，拉丁方对安排试验有什么作用呢？我们举一个例子来说明， 【例3】某公社考虑移植外地优良小麦品种，选了1,2，3三个品种进行试验、选定一块试验田，把试验田分成九个小区，每个品种各占三个小区，按拉丁方排列，如表8.表中每一小区内除注明品种1,2,3外，还注出该品种的折合亩产量（斤）.由于拉丁方的特性，每一品种在每行、每列都各出现 一次，这种排列的好处是不但可以比较品种的优劣，还可比较 -244一 ==========第251页========== 表8 2 1 3 660 G12 560 3 2 1 548 648 600 1 3 2 620 544 656 行之间土壤肥力的差异.因为在每行内，三种品种都各出现 一次，如果土壤肥力没有差异，那么每行的三种品种的产量和，不应有太大的（数理统计上称显著的）差异；如果有显著的差异，则很可能是各行的土壤肥力有差异.列之间土壤肥力有无差异也可作同样的比较. 现在我们对表8中的数据进行分析.先求出各平均数如表9： 表9 均 数 1 2 行 G10.7 598.7 606.7 列 609.3 601.3 605.3 品种 610.7 654.7 550.7 总平均 605.8 其中总平均数是表8中九个数据的平均 5448 号(660+612+560+…+514+66)- 9 =605.3. 行1的平均数就是表8中第一行三个数据的平均， -245- ==========第252页========== 号(660+612+560)=1832=610.7，3 它与总平均数的偏差主要反映了第一行土壤肥力的影响.列2的平均数就是表8中第二列三个数据的平均， 号(012+64s+54=1804=601.3,3 它与总平均数的偏差主要反映了第二列土壤肥力的影响、品种3的平均数就是表8中注有3”的三个数据的平均， 号(660+548+54倒=Z62550.7, 它与总平均数的偏差主要反映了第三种品种的影响.其余类推. 再算出各行、各列、各品种平均数与总平均数的偏差如表10. 表10* 偏 单 1 3 行 5.4 -6.6 1.4 列 4.0 -4.0 0 品种 5.4 49.4 -i4.6 由表10可见品种之间差异较大，品种2产量最高，品种3产量最低，而行之间的差异和列之间的差异都比较小，可以认为对亩产量没有什么影响，因此决定选用品种2. 3,F比上面的分析虽然简单，但多少带点主观的成 分.我们说品种之间的差异大，行之间的差异和列之间的差 ·这里第一行至第三行的偏差和不等于鉴，是由于计算平均数时取了近似值的缘故。 +246一 ==========第253页========== 异都小，这完全是凭直观.为了建立一个客观标准，我们引入 F比的概念 让我们再看一下表8中每一块田的折合亩产量，它们与总的平均产量所以有差异，其原因主要有下列四种： (1)品种之间有差异，(②)行之间有差异， (3)列之间有差异， (4)误差 现在首先要求出各种差异究竟有多大，才能进一步作比较.在第一节中，我们已经知道，平均偏差平方和是反映一组数据偏差间差异大小的一个统计数字，为了求得各组偏差的平均偏差平方和，我们这里先算出各种情况的偏差平方和，由表10我们算得 品种间偏老平方和=3会。-列” =3×[6.4+49.42+(-64.6)=3×5450.68=16362.04, 自由度=3-1=2. 在上面的计算里为什么要乘上3呢？这是因为整个试验中，每个品种重复了三次，所以用三个品种平均数的偏差平方和来表示全部九个试验的各品种产量总的偏差平方和时，就一定要乘3. 同样， 行之阃的偏差平方和-3会(-)2 =3×[5.4+(-6.6)+1.4]=3×74.68=224.04, 自出度=2 -247- ==========第254页========== 算式中乘3的道理与上面相同. 列之间的偏差平方和=8会：-列2 =3×[4.02+(-4.0)2+0]=8×32.00=96.00, 自由度=2 算式中乘3的道理也与上面相同 表10中全部九个数据的偏差平方和，即 호相-움r-ー（宮） =6603+6122+5602+.+544+650 -6448=3314624-3297856 9 =16768, 自由度=8. 总的偏差平方和反映了九个产量间的全体差异，它包含了全部四种原因的差异，即总的偏差平方和等于上述全部四种原因的偏差平方总和，所以，误差的偏差平方和只要从总的偏差平方和中诚去其他三种已算出的偏差平方和就可得到，它的自由度也等于总的偏差平方和的自由度减去其他三种已知的偏差平方和的自由度.于是 误差的偏差平方和=16768.00-16352.04-224.04 -96.00=95.92 自由度=8-2-2-2=2， 把相应的自由度去除这四种原因的偏差平方和，就得到四种原因的平均偏差平方和， 代表品种间差异大小的平均偏差平方和 -248一 ==========第255页========== 국受x1852.04-8176.02 代表行之间差异大小的平均偏差平方和 号=克×224.04-12.02 代表列之间差异大小的平均偏差平方和 号=7×96.00=48.00， 代表误差大小的平均偏差平方和 号=是×95.92=47.96. 经过上面的分析计算，我们已将不同品种、不同行、不同列以及误差对产量影响的程度分别用各自的平均偏差平方和表示出来了.但是我们要解决的问题是，不同品种对产量是否有显著影响.这就使我们进一步想到，把和进行比较。因此，作比值 F--617602-170.48 47.99 如果比值较小，则说明了不同品种所引起的产量的差异和误差差不多，就是说不同品种对产量的影响不显著，所以可认为各产量间的差异主要是由于误差引起的：如果比值较大，则各产量间的差异就可看作主要是品种的影响.那么，用什么标 准来判定比值的大小呢？我们可以查附录四中的F表。表中 相应的数值是我们进行判断的界限.附录四中F表有两张， 分别是c=6%,c=10%.a为信度，设给定a=5%,查a=5% 的F表，表中的%表示比值中分子的自由度，表示分母的 自由度.上面的F比中%=2，g=2,查表，n=2的列和n:=2的行交叉处的数值 -249→ ==========第256页========== Fx(n,ng)=Fo.os(2,2)=19, 就是我们所要求的界限，因为比值 F=170.37>F。.05(2,2)=19, 所以我们判断品种是有显著差异的。判断正确的可能性是1一a=95%,判断错误的可能性是“=5%. 对行之间的差异和列之间的差异是否显著都可作同样的判断，即把它们的偏差平方和分别除以误差的偏差平方和得出F比值，然后与F.(n,)进行比较.我们把计算结果列成表11. 表11方差分析表 来源 偏差平方和 自由度 平均偏差平方和 F比 显著性 品种 163520M 2 8176.02 170.48 行 224.04 8 112.02 2.34 列 96.00 0 48.00 1.00 误差 95.92 2 47.96 总和 16768.00 8 F6.%(2,2)=19 表中的“”号表示显著，不打“”号，说明不显著.这样的分析过程通常叫做方差分析，所以表11就叫做方差分析表.这里方差分析的结果和以前直观的分析恰好一致. 通过以上的讨论，我们可以进一步看出，拉丁方试验设计的优点在于它能从总的差异中分离出行之间土壤肥力所引起的差异和列之间土壤肥力所引起的差异，从而可以更准确地得出误差，提高对试验结果分析的准确性.但是拉丁方试验设计所要求的重复次数和因子的水平数一样多，这样就增加了试险的工作量，所以在实际工作中，用来安排试验的拉丁方的阶数很少超过8， 一250一 ==========第257页========== 4.正交试验设计上面我们介绍了两种单因子的试验设计一对照试验设计和拉丁方试验设计.但“世界上的事情是复杂的，是由各方面的因素决定的”，在农业生产中除了单因子试验外，往往还要进行大量的多因子试验.多因子试验的实质就是要找出因子间各水平的最优搭配方案.例如一个三个二水平因子的23试验，它共有2×2×2=28=8种因子 间各水平的搭配，如果各因子分别用大写字母A,B,C表示， 各因子的水平分别用A1,A,B,B2,C1,C。表示，那么这八 种搭配可表示如下： (1)A1BC1 (2)A BC (3)A1BC1 (4)A1B:C2 (5)AB C1 (6)4,B,C9 (7)A.B.C (⑧)A,B,C 这个多因子试验问题就是如何从所有可能的八种搭配中找出最优的一种搭配，这里的最优是相对于八种搭配而讲的、 但是当因子及因子的水平数较多时，如果要对所有的搭配都做试验的话，那么虽然对试验项目的内部规律揭示得比较清楚，但试验的次数多，时间长，费用大，以至于事实上往往不能办到. 因此，在因子较多时，如何既能减少试验次数，又能较全面地揭示内部规律，就是我们迫切需要解决的问题 正交试验设计就是解决多因子试验问题的一种重要的数学方法.用这种方法，不但可以减少试验次数，还可以全面地进行分析比较 2实际进行正交试验设计时，是采用一种预先编排好的正 交表来安排试验和分析试验结果的.最简单的正交表是 L4(2). 一251- ==========第258页========== 先说-下符号工42)的含意.记号“L”表示正交的意 思，“4”表示有四（横）行，即要做四次试验，“”表示有三（纵）列，“2”表示表的主要部分只有两种数字，即1和2，称之为1水平和2水平.表12中，任意两列的二个水平间正好各碰到 一次，搭配是很均匀的 表12正交表L,(2) 列 这班务 号 1 2 8 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 4 2 1 常见的正交表有：L4(23),Lg(2),L1a(2),",L(3), L(31),…,L(4),…,Lg(6),…见附录三 现在我们通过例子来说明如何选用正交表设计试验计划，分析试验结果， 【例4】某县农科所为了寻求使花生高产的较合适的施肥方法.对氮、磷、钾三种肥料及石灰的用量进行了试验.试 验的因子有四个，即氮肥（施湿牛粪）A,磷肥（施过磷酸钙） B,钾肥（施草木灰）C及石灰D.根据生产的经验和条件，各 因子分别取三个水平如下表： 表13 因 氯 磷 钾石 灰 水 子 平 A斤/亩) B(斤/亩) C(斤/亩) D(斤/宙) 450 60 100 70 8 1125 45 150 50 》 1800 30 200 30 -252一 ==========第259页========== 这是一个四因子三水平的3试验.全部搭配共有=81个， 现在选用正交表L(3),只要做九次试验，四个因子A、B、 C、D分别放在L(3)表中的任意一列，如A放在第1列，B 放在第2列，C放在第3列，D放在第4列，再在各列的水平 数字“1”，“2”，“3：旁，按表13的规定写上各因子的具体水平.这样，就得出一个试验计划，如表14. 表14试验计划 因 磷中 钾 石灰D 试雅号 子 3 1 450 60 100 70 2 450 45 2 150 50 出 1 450 30 3 200 3 30 2 1125 1 60 2 150 30 5 2 1125 2 45 9 200 6 2 1125 00 100 60 1800 200 50 8 1800 2 45 1 100 8 30 9 1800 3 2 150 1 7 按照表14的试验计划进行试验，花生产量为考核指标，产量越高越好，记录各次试验的结果，并作分析计算如表16. 表中I;表示正交表中第列的“1”水平所对应的试验结 果之和，卫；表示正交表中第j列的“2”水平所对应的试验结果之和，亚，表示正交表中第j列的“3”水平所对应的试验 结果之和。，-号1，表示第5列的“1”水平所对应的试验结果的平均值，五，=号卫，表示第5列的“2”水平所对应的试验结果的平均值，瓦，-音皿，表示第了列的“g”水平所对 —253- ==========第260页========== 表15试验结果分析计算表 列 试验结果 试章府 号 1 2 3 ) 1 1 1 1 32.5 2 1 2 % 2 33.0 3 1 8 3 3 28.9 4 1 2 3 30.7 5 2 3 1 32.7 6 2 3 2 30.4 1 2 33.5 8 3 2 1 3 34.4 9 3 3 日 1 32.1 1, 94.4 96.7 97.3 97.3 Ⅱy 93.8 100.1 95.8 96.9 含n-28.2 亚， 100.0 91.4 95.1 94.0 可=号2%=32.0 1, 31.5 32.2 32.4 32.4 , 31.3 33.4 31.9 32.3 亚， 33.3 30.5 31.7 31.3 最大一最小 2.0 2.9 0.7 1.1 应的试验结果的平均值.以第1列和第3列为例：11=32.5+33.0-28.9-=94.4, i1-944=31.5, 3 Ⅱ1=30.7+32.7÷30.4=93.8， 五1-93.8 3 =31.3, Ⅲ1=33.5+34.4+32.1=100.0，画，-0=33.3 13=32.5+30.4+34.4=97.3, 13=97.3=32.4,· 3 I333.0+30.7+32.1=95.8, 元a= 95.8 3 =31.9, 254- ==========第261页========== m4=28.9+32.7+33.5=95.1,m4=951=31.7. 3 把这些数分别填入表15第1列和第3列的I,Ⅱ，Ⅲ，T, 亚，亚，各行内.其他各列作同样的计算并填入表内.再计算出九次试验结果的总和 房9-82.6+38.0+…+32.1=28.2， 以及九次试验结果的平均值 j-6含w-2882-2.0, 熟悉了这些程序以后，计算可以直接在表15上进行，见图12-10 注意，∑可用来验算各 2 试验结果 (9) 列I,亚，亚，值的计算是否 正确，因为 2、 /33.0 3 1+,+,会 2· /30.7 6 表15的最后一行是同一 +32 6 列的工，亚，亚，之中的最大值 8 与最小值的差，我们把它叫做 9 32.1 极差。显然，第1列的极差是 Ii 33.3-31.3=2.0 II, 96.8 极差值大的因子对指标的影响就大，是影响产量的主要因素；反之，极差值小的因子对指标 极差 的影响就小，是影响产量的次要因素。因此上述四个因子 图12-10 中，B为主，A、C、D为次.然后再观察每一因子各水平的 -255- ==========第262页========== 平均试验结果，哪一个水平的平均值最大就挑选那个水平的施肥量。 综合上面的分析，最合适的施肥量是：每亩施湿牛粪1800斤，过磷酸钙45斤，草木灰100斤，石灰70斤.如用符号来 表示，这个最佳水平搭配就是AB,CD,它并不包括在已做 的九个试验中，为了证实分析结论，应将这个最佳水平搭配 A3B,C1D和九个试验中最好的第8号试验A3B,CD再做一 个对照试验 知道了正交表的使用方法后，我们再来考虑这样做的理由.我们做试验，就是为了比较.但是，正交表上任何两个试验都不可以拿来对某一因子的各个水平作出比较.比如在表 15上，我们不能通过第1、第4这两号试验来比较因子A1” 水平和“2”水平的影响，因为这两号试验除了因子A外，其他 各个因子所取的水平并不完全相同.不过只要把表15中九个试验适当地组合一下，我们就可以作出某种比较了， 以表15中的因子A为例，它的“1”水平A1出现于第1~ 8号试验中，这三个试验产量的平均数是 1-3++）-31.5 它的“2”水平A,出现于第4~6号试验中，这三个试验产量的 平均数是 五1-号+%+g%）=31.3. T1和五：就可用来比较A1和A,的好坏.因为在A:条件下 的三次试验(1~3号)中，因子B,C,D都取遍三个水平，而且 三个水平出现的次数相同，各为一次；同样，在A,条件下的 三次试验(4~6号)中，B,C,D也都取遍三个水平，且三个 水平出现的次数也相同，各为一次，于是，对于在A1条件下的 -256 ==========第263页========== 三次试验和在A。条件下的三次试验来说，虽然其他条件(B, C,D)在变动，但这种变动在两组试验中却都是一样的，所以 工1和亚：之间的差异反映了因子A两个水平的好坏（当然不 可避免地还混有误差的影响).其他因子的各个水平也都可以作这样的比较 5.有交互作用的试验有的试验，因子间有相互影响，这种因子间的相互影响叫做交互作用. 例如，某生产队对四块大豆田，施了不同数量的氮肥和磷肥，平均亩产如表16. 表16 因 肥 债肥 亩产 试路务 入 N(斤) P(斤) (斤) 0 0 400 2 6 430 3 0 4 450 560 从表中看出，大豆田在不施氮、磷肥的情况下，产量为每亩400斤，只施6斤氮肥，亩产量增加0斤；只施4斤磷肥，亩产量增加0斤；同时施6斤氮肥和4斤磷肥，亩产量增加160斤.显然，这里除了氮肥和磷肥单独增产的效果外，还有它们的交互作用产生的增产效果.这种交互作用今后表示成 N×P. 类似这样的情况在试验中是经常会碰到的，因此在用正交表安排试验时，就要考虑到因子之间的交互作用对试验指标的影响， -257 ==========第264页========== 【例】某公杜农科站为了提高水稻产量，对某一水稻品种移栽时的秧龄，每亩移栽的秧苗数及每亩施肥的纯氮数量进行了试验，具体情况列表如下： 因 秧苗数 纯 水 平 A B 0 1 小苗 15万 8斤 2 大秩 25万 12斤 这里一共有三个因子，秧龄A,秧苗数B,纯氮C.为了探索 它们单独的效果以及A×C和B×O交互作用的效果，我们 选用正交表工（②2）.有了交互作用，正交表上置放因子就不能如以前那样随意了.每张正交表都附有一张交互作用表. Ls(2)的交互作用表如下： 列号 (1) (2) (3) (4) (⑤) (6) (7) (1) 3 2 6 7 6 (2) 8 4 5 (3) 6 5 4 (4) 2 3 (⑤ 3 2 (6) 1 (7): 表中的(1)，（②），…，（⑦）代表正交表的列号.在设计试验计划时，我们先从置放任何两个具有交互作用的因子开始，例 如把因子A放在第1列，把因子C放在第4列，那么，交互 作用A×C所占的列可以从交互作用表中查得，它的序号就 是横(1)和纵(4)交叉的“6”.故第5列不能再置放其他因子， 258- ==========第265页========== 然后，考虑置放因子B,它可以放在2,3,6,7四列中的任一 列.如把B放在第2列上，由于C已放在第4列上，所以 B×C所占的列的序号应是交互作用表上横（②）和纵（④）交叉 的“6”.这样就得到一个在正交表上安排因子的表头设计如下： 表头设计 AxC BxC 列 号 5 6 7 因子A、B、C所占的列就组成一个试验计划，如表17. 表17 因 陕龄A 福数B 纯氨C 试写 子 1 2 4 1 1小苗 115万 1 8斤 2 1小苗 15万 2 19斤 3 1小苗 925万 1 8斤 1小猫 225万 12斤 5 2大快 1 15万 1 8斤 0 2大秧 115万 2 12斤 7 2大快 25万 1 8斤 2人快 25万 2 12斤 试验结果和分析计算列于表18.这里因子A,B,O三 列和交互作用A×C,B×C两列都要进行分析计算，其步骤 与以前一样，但要指出的是，表中了，和T,都是四个数据的平 均 根据极差的大小，因子和交互作用的主次关系排列如下 A,C,BXC,B,A×C 这表明秧龄A对水稻产量起主要影响，氮肥其次，秧苗数和 —259 ==========第266页========== 表18 兰 因 B C AxC BxC 试验结果 试唤号 子 1 2 3 4 5 6 (斤/亩) 1 1 1 1 1 1 1 600.0 2 1 1 1 2 2 2 613.3 3 1 2 3 1 1 2 600.6 4 1 2 2 2 2 1 1 606.6 5 2 1 2 1 2 2 2 674.0 6 2 1 2 2 1 2 1 746.6 7 2 3 1 1 2 2 1 688.0 8 2 2 1 1 2 686.6 I, 2420.5 2633.9 2562.6 2633.8 2567.2 ∑4=5215.7 亚， 2795.2 2581.8 2653.1 2581.9 2648.5 1, 605.1 658.5 640.7 658.5 641.8 立， 698.8 645.5 663.3 645.5 662.1 极差 93.7 13.0 22.6 13.0 20.3 ==========第267页========== 氮四的交互作用第三，其他因子和交互作用的影响不大， 在选取最佳水平搭配时，不但要考虑到各因子的单独影响，还要考虑到它们间的交互作用. 例如，单从第2列和单从第4列来看，因子B和C应分 别取“1”水平和“2”水平.再看表18中的第6列，B×C的 “1”水平对应着四个数据，其中两个数据是在B和O都取“1” 水平的条件下获得的，它的平均值是 合×(60.0+674.0)-637.0， 另外两个数据是在B和C都取“2”水平的条件下获得的，它 的平均值是 ×o0s.6+686.6)-646.6 B×C的“2”水平也对应着四个数据，其中两个数据是在B取 “1”水平、C取“2”水平的条件下获得的，它的平均值是 壹×(613.3+746.6)-60.0， 另外两个数据是在B取“2”水平、C取“1”水平的条件下获得 的，它的平均值是 7×(600.6+688.0)=644.3. 把所求得的平均值妇纳成表19， 表19 B B B C 637.0 644.3 0 680.0 646.6 -261- ==========第268页========== 从上面的平均值来看，应取较高的BC.这样的水平搭 配与单独分析因子B和C所得的结论并无矛盾 我们对因子A和交互作用A×C也作同样的分析.最后 得出最佳水平搭配A,BC2,这说明每亩移栽大秧15万株，施 纯氮12斤，能使秧苗早日发育生长，就有把握增产.AB,C, 的搭配恰好是第6号试验，亩产是746.6斤. 在分析过程中，如发现分析交互作用效果所得到因予的较优水平与分析因子单独效果所得到的较优水平有矛盾时，则应根据具体情况作具体的分析 6,正交试验设计的方差分析上面我们介绍了正交试验设计的直观分析法.它的优点是根据试验结果经少量计算后，直接比较，便可得出最优栽培方案.缺点是不能得出误差大小的估计，也就不能知道分析的可靠程度.为了提高分析结果的可靠程度，我们可以象在拉丁方试验设计中那样，对正交试验所得的数据进行方差分析， 现在仍以表18秧苗移栽方法的试验为例，来说明正交试验设计的方差分析. 首先，我们在选用正交表时，要求除了被因子和它们的交互作用所占用的那些列外，至少还应留有一个空白列作为估计误差之用.表18的第3和第7两列是空白列，在计算时，空自列也要象其他各列一样进行计算.因为正交表各列水平间偏差平方和的总和等于八次试验总的偏差平方和，所以可将正交表上所有空白列的偏差平方和作为误差的偏差平方和. 表18的八个数据之间所以产生差异，其原因主要有下列两个： (1)各因子（或交互作用）水平之间的差异： (2)误差 -262- ==========第269页========== 它们偏差平方和的自由度服从下面的规律： (1)偏差平方和的自由度等于偏差平方的项数减1.因此因子各水平偏差平方和的自由度是水平数减1.在正交表 上我们也把它叫做列的自由度，这里A、B、C的自由度都是1. (②)两个因子交互作用的偏差平方和的自由度，等于两 个因子各自的自由度的乘积.这里A×B、B×C的偏差平方 和的自由度都是1×1=1，正好等于正交表上所占用列的自由度. (3)误差的自由度等于所用正交表上空白列自由度的和 表18中，八个数据都大于600，我们把每一个数据都减去600，仍记之为，这样做并不影响数据间的差异程度，却可以简化计算 现作方差分析计算如下： 设以y代表八个数据：的平均值 y-3合%-号0.0+183+0.6+…+8.0+8.)8 =415.7 8 为了今后计算的需要，我们算出 3(会°-41522160.81，8 通常用符号CT采表示它，读作校正项. 设以S。表示八个数据的偏差平方和 a-w-i)”ーと（）2--CT=0.0+13.32++86.6-01=20831.12, 自由度=8-1=7， -263一 ==========第270页========== 它反映数据间差异的情况， 再以S4记因子A两个水平间的偏差平方和.A占正交 表上第1列，它的水平平均分别是I1和豆， SA=4×[(I1-)3+(亚1-)门 4x[(タ-)+（-）] [프-()+37] -4×[+阻-2g29+2对]-+-87 16 .hay포+프（씨）'-+-o 20.6+395.2-CT=17560.01, 4 自由度=1. 这里括号外乘上4，其理由同以前拉丁方试验中品种间的偏 差平方和要乘上3一样.因为在表L。(②)中，每个水平重复 试验4次，所以，用两个水平平均值的偏差平方和来表示八个 数据中因子A总的偏差平方的和时，就要乘上4. 用同样的方法可以算出Sa,Sc,S4xC,SsxC,和两个空 白列的偏差平方和S3,S,.自由度都是1. 上述一系列偏差平方和的计算除S。外都可在表上进行， 具体见表20. 由于空白列的偏差平方和反映了误差，所以 8棵=Sa+S,-765.11, 自由度=2. -264- ==========第271页========== 2TT80此=8'009T2-g6t82■Z0-9'98+0'g8+…+9'0+8*eT+e0'0=I0-折了-Wg II'999 I8'938 0L'988 8L'EZOT00'66T oe'6eE TO'O99LI 0-(亚+)是-s3 Z6'99Tz克Z0'L8乙z IS'LE6T869·乙9乙乙t8'0LT亿Tt'0师6Iza8'09T6e (红+切是 69'L898860'80L68C0'09LL8Le'86069z'86TL89師'09LL862'e0999T Ex+f1 T8'009T3= 9z'090ESB'89LT9I9'L80e8I9'690598268IS2'190ee0'e8I99T 知 8 師'I898'996L8所29999L'8893I'90eceI亿'60L992'025 t红 公sr"Z0 G'FLT 9'8鄂2 6'T8I T'e92 8L22 8'I8T 2968 n L'9T节=f了 ?T2 &'L9T 8'ee3 9'z9I 6'L8T 6'ee s'o3 f红 9'98 Z T I 8 I 2 8 8 088 T 名 2 t 3 8 b 9'95T I z 8 e 2 9 0弘 I 3 I 8 9 99 3 8 名 90 名 名 8 g E'gT 名 名 名 I 8 00 T T r T 忧 L 9 8 3 士 告致斗 群 振 oxg 0X可 0 a 图 02 ==========第272页========== 在计算过程中难免出现差错，现在提供三个验算的方法 (1)每列各水平所对应的数据之和应等于∑.比如表20中， I+亚3=415.7=∑. (②)各列偏差平方和的总和应等于总的偏差平方和8在表20中28,-17650.01+380.30+…+56.11 =20831.11, 而 S4=20831.12, 它们的值相差0.01.由于计算过程中取近似值的关系，所以上面这一点微小的差异是允许的 (3)各列自由度之和应等于正交表上的试验次数减1.在表20中，共有7列，每列自由度都是1，总共等于7，恰好是8次试验减1. 最后，我们进行F比的显著性检验，并将结果列成方差 分析表，如表21. 袁21方差分析表 米源 偏差平方和 自由度 平均偏差平方和 F比 显著性 17550.01 1 17550.01 46.5 B 339.30 1 339.30 0.9 o 1023.78 1023.78 2.7 AXO 336.70 336.70 0.9 BxC 826.21 1 826.21 2.2 误差 755.11 377.58 20831.11 7 F0.0s(1,2)=18.5 一266- ==========第273页========== 结论： (1)方差分析表明，因子A显著，其余都不显著。 (②)因为I1<Ⅱ1，所以因子A以取水平“2”为好. (3)因子B和C都不显著，取任何一个水平都可以，从 节约的角度考虑，可取B、C. 如此决定的水平搭配ABC1恰好是第5号试验，它的亩 产量是674斤，比第六号试验的746.6斤低72.6斤.因为误差的平均偏差平方和比较高，这72.6斤的差异很可能是误差引起的.以前直观的分析没有考虑误差，所以与这里的结论有 所不同，到底哪一个搭配好，可以再做几次ABC1和A,B,C 的对照试验，以取得最后的结论 上面是一个二水平正交试验的方差分析.三水平正交试验的方差分析与二水平的基本相同，只有某些枝节的区别，概述如下： (1)设A、B是两个三水平因子，据上面关于自由度的 规则，A、B的偏差平方和的自由度都是2，交互作用A×B 的偏差平方和的自由度是4，而三水平正交表上每一列的自 由度为2，所以A×B要占两列.它的偏差平方和要等于这 两列偏差平方和的和 (2)假如用I?(313)表，那么 S4=9×[(I4-)+(正4-)2+(4-)] -g(位++)-0T. 这里偏差平方和外所以乘上9，是因为每一水平平均值「A, 亚，面4都是九个数据的平均.其余类推. 正交试验设计是解决多因子试验的一个好方法，在工业生产中已有广泛应用.可以预料，正交试验设计在农业生产 —267- ==========第274页========== 中也将得到广泛的应用，希望读者能在实践中不断总结经验，逐步推广。 小 结 在农业生产中，我们经常要进行科学试验.试验设计就是安排试睑、分析试验结果的一种数学方法，它能使试验次数尽可能地少，而分析出来的结论明确可靠， 常用的试验设计方法有 (1)对照试验设计；(②)拉丁方试验设计：(③)正交试验设计.试验结果的分析方法有： (1)直观分析法： (2)方差分析法. 习 题 1,在进行田间品种试验时，为什么要求田块条件、栽培管理尽可能橄到一样？ 2,在对照试验设计中，对照组（例如对照品种）起什么作用？ 3.什么是拉丁方试验设计，它有什么特点？ 4,我们在六块试验田里种植柚菜，考察五种不同的施肥方法对亩产量的影响，取得试验结果如下（单位：斤/亩） 田 施吧法 块 2 5 6 1 289 256 276 236 222 271 2 274 244 286 250 300 3 3 322 251 265 240 277 27 4 59 242 310 246 299 253 259 244 286 254 226 253 -268一 ==========第275页========== 通过这些数据，分折出哪一种施肥方法最好， 5.某科学种田小组对五个水稻品种进行亩产量比较试验.设以A1, A2,…,A5代表这五个品种，其中4为对照品种.得出各小区的 产量如下（单位：斤）： 品种 A 对照 d As 对照 44 28.1 20.9 21.3 30.5 22.7 29.2 27.1 23.2 21.7 31.5 20.8 29.6 24.8 18.4 22.7 31.4 19.8 28.6 通过这些数据，分析比较各外引品种的优劣，如每一小区的面积为20平方米，试估计各品种的折合亩产量， 6.某农科站对五个小麦品种进行产量试验，采用5×5拉丁方设计.其排列和产量如下表，左上角数字代表品种，右下角数字代表产量，单位：斤亩 1 3 475 344 413 327 378 5 3 2 392 349 407 393 345 3 2 396 442 362 374 409 4 267 378 362 441 386 2 464 371 379 334 400 试对五个小麦品种进行统计分析， 7。对于下列试验，请决定选用哪一个正交表，并给出你的表头设计. (①)五个二水平因子A、B、C、D、E,并要考虑交互作用A×B, BxE; 269- ==========第276页========== (2)四个二水平因子A、B、C、D,并要考虑交互作用A×B, C×D; (3)四个三水平因子A、B、C、D,并要考虑交互作用B×C, B×D; (4)六个三水平因子A、B、C、D、E、F,并要考虑交互作用 DXE. 8.在表6的水稻栽培试验中，我们用正交表L,(②)安排试验，并取得 如下的数据： 因 根外施肥 氨肥量插植规格 亩产量 试班府 子 A B G g 1 920 20斤/亩4寸×4寸 688斤 2 920 25斤/亩5寸×4寸 710斤 3 腐植酸铵 20斤/亩5寸×4寸 848斤 衡植酸铵 25斤/亩4寸×4寸 869斤 试运用直观分析法分析各个因子影响的大小和选取各因子的较优水平 ·.为了研究某种农药生产的收率问题，我考察四个二水平因子对收率y的影响(y越高越好)。因子及它们的水平如下： 4:反应温度A1:50℃，A2:70℃； B:反应时间B1:1小时，B2:2小时； C:·硫酸浓度C1:17%,C2:27%; D:操作方法D:搅拌，D2不搅拌. 根据实际经验，因子A和因子B有交互作用，因反应温度低，反应 时间就要长，反过来，如反应温度高，反应时间就可短一些.采用正交表Lg(2),把因子A,B,C,D分别放在第1,2,4,7四列上. 八个试验所得的数据减去65%分别等于1.5%，6.5%，6.5%， 7.0%,4.0%,8.0%,-1.0%,4.0%.运用方差分析法分析各因子的影响是否显著，并提出最优生产方案， 270一 ==========第277页========== 第三节回归分析 毛主席教导我们：“一切客观事物本来是互相联系的和具有内部规律的”.在生产斗争和科学实验中，我们经常要研究 一个量和另外一个（或几个）量之间的关系.比如基本苗数与有效穗数，施肥量与产：量，猪的重量与它的身长和胸围之间的关系等等.如果我们能把这些关系用数学公式表示出来，这对今后的生产和科研都将有很大的益处.但是这种关系，并不象我们以前学过的一个量确定后，另一个量就跟着完全确定的函数关系.比如，作物每亩的有效穗数和它的基本苗数有关，但是对于每亩同样的基本苗数，即使其他管理水平都一样，其最后所得的有效德数也不会完全一样，这是因为其中还含有误差.我们把这样的关系叫做回归关系。有关回归的理论和计算、分析方法叫做回归分析 一、两个变量的线性回归关系 两个变量间的线性回归，就是在科学实验中经常遇到的配直线问题.我们将在上册第六章中求直线型经验公式的基础上，作进·步的研究 我们在上册第324页曾遇到这样一道习题：某生产队贫下中农为了摸索小麦高产的经验，对每亩田基本苗数与成熟期有效穗数的关系，在五块田上进行了科学实验，在同样的栽培管理条件下，取得试验结果如表22.要求我]求出每亩基本苗数与有效穗数y之间的经验公式。现在我]就以它为例来作进一步的讨论， 以每亩基本苗数为横坐标，每亩有效穗数为纵坐标， -271一 ==========第278页========== 表22 基本苗数x(万/亩) 有效穗数y(万/亩) 15.0 39.4 e 25.8 42.9 3 30.0 41.0 36.6 48.1 6 44.4 49.2 将上表中数字点在一直角坐标系上.可以看出，这些点大致 接近于一条直线（图12-11）. 50 因此，我们用一直线方程 y=a+bz (1) 45 数 来表示基本苗数，与有效穗数之间的关系.我们把方程 基本苗数仿) ()叫做双对x的回归方程，其中a为回归方程中的常数，b 图12-11 为回归系数 我们用第六章中介绍过的平均值法，来确定a,b的值.即把各点的坐标分别代入方程(1)，把所得的含有a和b的方程随意分成两组，再把各组方程相加，得到含有ā和b的两个方程： 39.4=a+15.0b 42.9=a+25.8b 43.1=a+36.6b +）41.0=a+30.06 +)49.2=a+44.46 123.3=3a+70.8b 92.3=2a+81.0b 解这两个方程所组成的方程组： 123.3=3a+70.8b, 92.3=2a+81.0b, 一272一 ==========第279页========== 得 fa34, 1b≈0.3. 干是，则对的回归方程是 y=34+0.3, (2) 这也就是我们所要求的经验公式 有了这个方程，我们就可以从每亩基本苗数来推算每亩有效穗数.但是应该指出，表22中的每亩有效穗数是含有误差的，因此，这里导出的直线方程也一定含有误差.于是我们要问直线方程（②）是不是y(每亩有效穗数)对x(每亩基本苗数)的最好的回归方程呢？就是说，这条回归直线与已知点的误差是否最小.如果不是，有没有什么办法可以导出一个误差最小的回归直线？因为用误差最小的回归直线来推算y的值（即估计y的真值）其结果将更可靠些下面我们就来作些分析.设用 ym8+b咖 (3) 来表示误差最小的回归方程.用(1，y)(j=1,2,…,)代表对观测所得的数据.在回归直线(3)上，横坐标为，的点具有 色，yD 纵坐标 yy=w十6c;, +b 在)它与实测所得的数据點；的距离 是 图12-12 -=;-a--bxy 通常我们用这个距离估计误差。要求误差最小，就是要求所有数据的这一距离平方的和为最小.根据这一要求，我们可以得到求出s和b的计算公式如下（证明从略）： 一273- ==========第280页========== 会-@时 6- (4) 时-胶 a=9-b远， (5) 其中正和分别是横坐标和纵坐标，的平均值.这种确定4和b的方法叫做最小二乘法. 上面的具体计算可按表23逐步进行.表中列是为了以后分析要用。 表23 y 1 15.0 39.4 225.00 1552.36 591.00 e 25.8 42.9 665.64 1840.41 1106.89 的 30.0 41.0 900.00 1681.00 1230.00 4 36.6 43.1 1339.56 1857.61 1577.46 5 44.4 49.2 1971.86 2420.64 2148.48 总和 151.8 216.6 5101.56 9352.02 6689.76 平均 元=30.36 9=3.12 no5 2号-5101.56 Σ工y=6689.76 -）n2=4608.65 -）n元：9=6545.62 Σ져-n23492.91 Σ，-n元·9=144.14 0=144.4=0.29≈0.3 492.91 a=y-bz=43.12-0.29×30.36=43.12-8.80=34.32≈34.3 す=34.3+0.3~。 (6) 这一公式要比前面用平均数法所求得的公式（②）略为精 -274- ==========第281页========== 确一些.我们将用它来作为从每亩基本苗数推算每亩有效穗数的依据.例如，如果每亩基本苗数x=26.1,那么 y=34.3+0.3×26.1=42.1(万/亩)， 就是说，成熟期的有效穗数大约是每亩42.1万， 反过来，也可以根据有效穗数的预定要求，来选择合适的播种量， 为了确保丰收，每亩有效穗数不宜过多也不宜过少，根据该生产队的经验，小麦的每亩有效穗数一般以41~43万为宜.根据这个标准，如果以每1斤小麦播种后出苗0.94万棵计算，那么小麦的每亩播种量可计算如下： 分别以y=41,y=43代入方程(6)， 当w-41时，-红34-3≈22.3（万/商4 0.3 当划=43时，c=43-34. 0.3 2≈29.0（万/亩）. 因此，该生产队小麦的每亩播种量应介于 22.3 0.94≈23.7（斤/亩） 和 ‘29.0≈30.9（斤/亩） 0.94 之间.这就是说，小麦的基本苗数每亩在22.3~29.0万棵之间比较合适，因此，小麦的播种量应在每亩23.7~30.9斤这个范围之内. 必须指出，这个方程中的常数a和回归系数6是有地区性的.随着地区的不同，a和b的值也会不同. 二、回归直线在植保方面的应用 【例】某地贫下中农根据长期的观察和实践，发现该 -275— ==========第282页========== 地每年五月中、下旬合计降雨量与六月上、中旬的粘虫发生重之间有着密切的关系，表24记录了他们八年的观察数据. 表24 容餐限霸日 每年6月上、中句一台糖蜜诱杀器诱得粘虫数y (只) 1 46.1 288 2 31.9 299 3 5.4 367 4 26.6 53 5 80.6 777 6 24.8 56 7 40.2 359 8 28.6 63 试求出y对：的回归方程. 解：如图12-11那样，把表24中的对应值作为点的坐 800 70g 粘6io 素o 40 scu 200 10 0峦0市布0订2 库雨量老米) 图12-13 276 ==========第283页========== 标，点在一个直角坐标系中（图12-13），从图上看到这些点接近于一条直线，于是列表计算，得出结果如表5.表中的列是为了以后分析要用. 表25 出 2 y 1 46.1 288 2125.21 82944 13276.8 31.9 299 1017.61 89401 9538.1 55.4 367 3069.16 134689 20331.8 26.6 53 707.56 2809 1409.8 5 80.6 777 496.36 603729 62626.2 6 24.8 56 615.04 3136 1388.8 2 40.2 359 1616.04 128s81 14431.8 8 28.6 63 817.96 3963 1801.8 总和 334.2 2262 16464.94 1049558 124805.1 平均 41.78 282.75 nu8 2=16464.94 Σxy=124805.10 nz2=13964.55 nz,▣94506.36 Σ号-nx2=2500.39 30298.74 6=30298.74 ≈18.12 2500.39 4=9-b元=282.75-12.12(41.78)=-223.62 寸=-223.62+12.12. 用这个公式，可以由五月中、下旬的合计降雨量来预报六月上、中旬的粘虫发生量. -277- ==========第284页========== 三、可以化成线性回归的例子 两个变量之间的回归关系并不总是直线，相反大都是曲线，有些曲线，只要把变量作一个简单的数学变换，便可化成 一条直线、这时。我们就可以用上面所学过的方法来求出它们的回归方程，现在我们用个实例来说明 【例2】在上海郊县，粘虫是对小麦危害比较严重的一种害虫，某植保小组经过长期观察，发现粘虫卵孵化成幼虫的历期与气温有密切关系.为了掌握粘虫生长规律，及时扑 灭，确保小麦丰收，他们收集了粘虫卵孵化的平均历期N与 平均气温T的数据，如表26 表26 平灼离期V 平均怎温T 80.4 11.8 15.0 14.7 18.8 15.4 12.7 16.5 10.7 171 7.5 18.3 6.8 19.8 5.7 20.3 试求出N对T的经验公式. 解：我们把表中的对应数据点在一直角坐标系上，并顺 着点子的趋势描出一条曲线，如图12-14.从图上看到N较 小时，T下降得快一些，曲线陡一些，N较大时，T下降得慢 -278一 ==========第285页========== C 20 16 10 图12-14 一些，曲线平坦些，它与我们已经学过的双曲线的一支很相 似.我们对N作一简单的数学变换 京。 即对N的每一个值，算出它的倒数，作为V的值，把N和T 的对应关系化成V和T的对应关系，如表7. 表27 N 哈 T 8C.4 0.0329 11.8 15.0 0.0667 14.7 13.8 0.0725 15.4 12.7 0.0787 16.5 10.7 0.0935 17.1 7.5 0.1333 18.3 6.8 0.1471 19.8 5.7 0.1754 20.3 我们再把表7上V,T的对应数据点在一直角坐标系 上，如图12-15.由于这些点子很接近一条直线，我们用以 -279 ==========第286页========== 前学过的求回归直线的方法，算出T对P的回归公式，如 表28. 划 0 图12-15 表.28 D T m T vT 1 0.0329 11.8 0.001082 159.24 0.38822 8 0.0661 14.7 0.004449 216.09 0.38049 8 0.0725 15.4 0.005256 237.16 1.11650 4 0.0787 16.5 0.006194 272.25 1.29855 5 0.0935 17.1 0.008742 292.41 1.59885 6 0.1333 18.8 0.017769 334.89 2.43939 7 0.147m 19.8 0.021638 392.04 2.91258 8 0.1754 20.8 0.030765 412.09 3.56062 总和 0.8001 133.9 0.095895 2296.17 14.29520 平均 0.100 16.7375 养=8 Σy=0.095895 PE,=14.29520 nF9=0.080010 nP.2e13.39167 Σ7-h3=0.015885 ∑PT,-nP.T=0.90353 8w-0.90353=56.88 0.015885 a-T-b形-16.7375-56.88(0.1000)=11.05 -280一 ==========第287页========== 厘=11.05+56.887， 以P-了代入上式，得到T对W的同归方程 里=11.05+56.88 N 再作简单的代数运算，就得到从平均气温P预测粘虫卵解化 历期N的公式 56.88 N=-11.06· 如果在四月中旬发现粘虫卵，面四月中旬平均气温据统 计在140左右，那么，以P=14代入公式就得到粘虫卵孵化 的平均历期 N=19.3(天). 即从发现粘虫卵日起，大约19天粘虫卵就将孵化成幼虫.如在此时采取适当除虫措施，定可防患于未然，豌保小麦丰收。 四.方差分析 在上面几例中，y都是通过y对x的直线关系来估计的，而y对心的直线关系我们都是凭目测来决定的，多少带点主观的成分.因此，y对多的关系是否确实是直线，必须有一客观的依据来加以鉴定.以前我们学过的方差分析就是一个很有效的鉴定工具. 仍以本节的第一个间题为例.设以y,表示对应于心，的观察值，j-1,2,…,6,是同-一，由回归方程(3)推算出来的值（叫做回归值）；￡和分别为需和y的平均值。 每一y值的偏差可以分解为两部分： 1一y=一十一穷=（一）十(-》， -281一 ==========第288页========== 其中第一部分(-)（如图12-12所示）反映了误差，第二部分，根据回归方程（③）和公式（⑤），得 g-g=a+b,-剪=9-b元+bm4一剪=b〔gy-西，它主要反映了y对x的直线关系部分，这说明了表22中数摇y的差异主要是由于下列两种原因： (1)y对⑧的直线关系：(②)误差. 从理论上还可证明，数据y的偏差平方和恰好也可分解为这两部分的偏差平方和，即 ー)ー含(ーか+G (7) 我们把y的偏差平方和叫做总的偏差平方和，记为Sa, SÅ(1-)好ー5 把Σ(，一)”叫做回归偏差平方和，记为S, S(ー)ー[(ー)】ー(o,ー) 它主要反映由，的变化而引起的y,的变化：误差的偏差平方和记为8馔， 综合起来，(T)式就是 Sa=Sa+S. (8) S的自由度等于和中平方项的个数减1，即是4，一元回归 偏差平方和的自由度是1.S,的自由度则为这二者之差，所 以是3. 只要把相应的自由度去除8，S,就可以得到两者各自 -282- ==========第289页========== 的平均偏差平方和.我们用它们的F比来检验线性回归部分 的平均偏差平方和是否显著，作为判断两个变量y和：之间有无直线关系的依据. 由表23我们算得 8a=Σg号-列2=9362.02-6×(43.12)=9352.02-9296.67=65.35, S月=b2Σ(y-x)2=0.09×492.91=44.36 并根据等式（⑧），得 S.=Sa-Sg=10.99. 把结果汇总成方差分析表，如表29. 表29方差分析表 来源 偏差平方和 自由度 平均偏差平方和 F比 显著性 回妇 8g■44.36 1 44.36 18.12 误差 8w=10.99 3 8.66 总和 8t55.35 F0.e(1,3)m10.13 由于F比显著，因此，我们有1一a=96%的把握，认为每亩有效穗数y和每亩基本苗数之间有直线回归的关系。 如果F比不显著，那么就有下列三种可能： -283- ==========第290页========== (1)影响划的，除外，可能还有其他变量； (2)心和y的回归关系可能是一条曲线，而不是一条直线； (3)和y无关. 这时求出的回归直线作用不大，需对云和y的关系作进 一步的研究. 小结 在农业生产中，我们经常要求某些量之间的经验公式.由于误差的干扰，所以这些数量关系，不是平常的函数关系，而是一种回归关系。回归分析就是解决这类问题的一种数理统计方法。 设y对x的回归直线方程是 y=a+bc, 确定a和b的方法有两种： (1)平均值法 (2)最小二乘法.求4和b的公式是 a=y-bi, b=e-n变 Σー。 对于用最小二乘法得出的回归方程，还可进行方差分析，以鉴定回归是否确实是直线 有时，两个变量之间的回归关系虽然不是线性的，但可以通过变置，变换化为线性回归的问题，从而得出它们回归曲线的方程， 习题 1.y对x的回归关系与y依赖于x的函数关系有什么区别？2,什么是最小二乘法的基本思想？ 3。下表是一种小麦高产品种的亩产盘（斤）与它的千粒重（克）之间关系的实验数据： -284- ==========第291页========== (克) 品 (克) 帝 1 27.3 378.4 29.4 c63.1 2 35.0 350.4 9 27.1 191.5 3 33.9 424.8 10 34.8 430.7 28.3 414.0 11 31.2 417.3 5 30.3 328.1 12 26.6 206.6 6 32.5 442.4 13 34.6 477.8 35.2 342.5 14 32.9 483.3 试用最小二乘法求出亩产量对千粒重的回归直线方程。并作方差分析，以鉴定此回归关系是否是一直线， 4,下表列出的数据是上游站的洪峰流盘，与它到达下游站的时间： 洪峰流量 时 间 洪事流金 时 间 (立方米/秒) 小时) (立方米/秒) (小时) 1 474 12 8 818 8 2 1607 7 9 360 15 3 281 19 10 816 17 4 469 12 11 398 18 5 635 12 12 243 20 6 416 16 13 344 11 1536 7 把这些数据的对应值作为点的坐标，点在一直角坐标系上，读者将会发现，y对x的回归关系是一条曲线，它近似于双曲线的一支， 试作变换V-子，求出y对”的回归方程，并作方差分析。假如 鉴定下来，y对V的回归是直线，那么，再求出y对x的回归方程 根据你所得出的回归方程，试预测上游站的洪蜂流盘为740立方米/秒时，下游站出现洪峰的时间， 285一 ==========第292页========== 附录 一、常用对数表 0 1 2 1 000000430086012801700212 44833 88721252939 371923260 34 281173 120612711303 1835 10131619232029 146114921523 1553158416141644 1709 69121518 A27 179018181847 190319311959 2014 8111417 2175 舞 3322265554 8 91214 9111816 0091822% 8010 B201 81118i617 3404 19 222266665 81C1 14 17 38023820 10 89798997 4014 403140484065408240994116 33383 9114 16 160 ☏ 2222177666114502 8 11 14 4G394651 466946834698 4713472847424757 910 4829■■4900 10 11111$38386656577766 10 54416453546564786490 6514 11111 22222 555540090911翻全483366666777779888810 5911 5933594459555960 5988 00 0 1 8 7 8 28 7 ==========第293页========== (常用对数表) 12 5 8 6075 11111 22222 3333864745555500 t-t-t-t 84846493 6666698888 員 1111122222333335554466555776668777798888 7039 有OO 警 111112222233222 33388 55555 6666677786877T1396 7443 舞 11111222112222383838公公医公会6554455555866667777国 1111111111222223888344983555558685511111111112222283332333335554455565 6 7 2 287 ==========第294页========== (常用对数表) 1 2 3 1 84 8463 8716属8506 11111 工1111222222223288888合公县公会55555665551111211111222222228283838338含3554465665 8.00091 0053 90074907 922 1111111111222222222283888零书88855566 9248 9263 9284 9299 0315 9565 国 9840蜀1100011111291112公公223822244888 气 辑 00090111111111122222222228388零 979197959800980598099814818 9943 0000011111111112228822222 9699974997899839987G991 88833 2 8 19 288 ==========第295页========== 二、反对数表 1 3 78 1 1009e 1008 10161019 城 器000000011111111111111111111222222 108 1114 1119 1126 1192 1186 1140 韩梯销精销 0000011111111111111111111宏北222蓝公公么22242222238 1247 1208 00000111工1111111112212222222222223333338 142 1442 猫源调雲 翻1111111111Z21118333338838 1600 160m 燃酒閨雄源森粮流000001111Z11111S宏公总23333383841 1796 警 器11111111112公2222122223333多3沙3338844 1995 20800001112111111821222222233338338386 2284 5 102 289 l- ==========第296页========== (反对数表) 数数 1 22992244224922542259228522702275国228022912296230129072122317284 23502399 2404 2432111111111122222222223838988333 金44424652460248824722477 2488 24892498 2512251826282529 25412547 2582 28002606 204 265626612667 37042754 2761 2767会729需111111111123222 2228383333 公4444 55555 2793 28882844 2858 2864 291 29242991 8 11111 126 121112222 31833141 3838338344公公公公会5555555888 8177318M819231999206美 824111111222222222333334555555568 8866634678476043349184998508 8516840 防动打臨脚 8548能8581 8569 8081 8802 3936 国8072111112222223333888443945 55555 8888677777 8890 898139908999400940184027 4086 40464055 4064 40744088 410241中4121 4169 4266 1111122222439544064428445733333 55555 666666777?788884385 4416 6544674477 44G744984508 45194529463945504560 4571 4624 4797488 4831 4732 4842 11111222228833845555666677777888899999000E 6的 4898 4909 4920 4932494349554968497749895000 数 2 1 45 h 290 ==========第297页========== (反对数表) 2 5 501250235035 5105 5129 5508 55215545目11111 22283 5555577781015534 8 5662 50895703 5728 112 1111133333555687777788889 6252 631063246339 7063122223833345655666667888 98890 6918 7129 72117223 101218 糖22222383445555577777 8899分 15 14 7762 1113 8035 8110 18151 阁 2222286666788889000 17 2 90369057 90789089 117 国鬃222224444566777 88999 01111 1517 151798179840 90549977 4 123 --291 ==========第298页========== “常用对数表”用法说明： 1.由“常用对数表”可以查出任意一个四个数位数的对数的尾数.数位超出四个，可以先四金五入，得到四个数位的数，再查表 2.表中列出了N从1.001~9.999的对数的尾数.表中标有N的 左边一直列是真数的前两个数位的数字，顶上和底下两横行是真数的第三个数位的数字.三个数位的数的对数尾数，可由表上直接查出， 3.右边顶上一横行是真数的第四个数位的数字.当真数是四个数位时，就需要用到它所对应的补充位 【例1】查表求1g7651. 解：把7651写成7.651×10，查表得 1g7.651=0.8837+0.0001=0.8838 因为765是4位数，所以它的对数的首数是41=3. ∴.1g7651=3.8838 【例2】查表求g0.03842 解：把0.03842写成3.842×10-2，查表得 g3.842=0.5843+0.0002=0.5845 因为0.0384小于1，在第一个不为零的数之前，有2个“0”，所以它的首数是一2 lg0.03842=2.5845, “反对数表”用法说明： 1.由“反对数表”可查出对数尾数所对应的真数的四位数字2。表中标有“m”的左边一直列是对数尾数的前两位小数，顶上和底下一横行是对数尾数的第三位小数 3.表的右边顶上一横行是对数尾数的第四位小数。当对数尾数是四位小数时，就需要用到它所对应的补充值. 【例1】已知1gN=1.2344,查N. 解：查“反对数表”，得0.2344的反对数是1716.因为已知篇数是 1,所以真数整数部分的位数1+1=2，即N▣17.16 【例2】已知1gN=2.6931,查N. 解：对数尾数0.6931所对应的真数是4.932+0.0001=4.933，又因为对数首数是2，所以真数左边第一个非零数前有两个0，即 N=0.04933 .292一 ==========第299页========== 三、试验设计正交表 L,(2 列号 1 2 3 试验号 1 1 1 1 2 2 2 3 0 1 2 4 2 2 义 Lg(2) 列号 23 4567 试验号 123 1 1 1 1111 132188 12 181212811221 1 2211 1 5679282212821221 21 1212112 L3(2)二列间的交互作用表 列号 12 8 4 女 67 列号 () 高213567447616 5 2306643817 -293 ==========第300页========== HOQH QHH09 N叫N HQNH 91618181 99日gm0oo的NH HQ203A HHQ HG的N 的N 의은のo 1 $HN的 的Hc9 Q HHol H的N 91618181 吗曹9eo名日的o 11 10] 日 움의의m- 46的N HI HO0 09 HNH e 다o0의의액m HO HN GN的H N4的 0 다유먹의의- 00 →N9 A10 9N9 F 의다의의 HAN101 o0の-S HA&N 0 터 HH] N的H k0回 HH000 的N H H0]09 0o8 的N9的 4=4 的H变 N NN6的N 的到 6 的 尽 HN的中 9o0g日g 尽 中 尽 ==========第301页========== N的 的r41 的的 gt BT IT OT 的 的 -552 N A的 G的 ca on QN的的+GN 90 NGG的-03 G的 o % 0N60 4GN的 4096的 c8)57 中 的 nnd N019 的的 N 的 的0mmmc的G96的G的 n 中 尽 A1的 炉e t-00 c 翅 ==========第302页========== 9131 o ： ~ 。00的な0ー의单0o유0的유のずトのE OIo的o日py9的日N的406∞유으~다の워의 N的的GNmG的NGN中的 60の유ov액m의@ o to의or 1o E & N的球G3球0GwG的时 o ~ 의의∞-⑨ 国（的 o t ∞다유의E e ずH叫ずH6onず N0H的一6N N球m中 ⊙ 球中中 m*日 6 中 尽 0す00t-0の더의9드 ==========第303页========== 的 Hのず的的 09的 AN的n9 的0N 09的中 6N的中0 的w0G9 球0N的 球 N N的中 H 0 teoth 中 더의의 의9后8的品8 ==========第304页========== 四、F表 F(1,2) 10% 1 % 3 8个f910203050 防 39949,55355.8 58 12345659.59 9061 7 62 62.7 8544 9 .25 .39 .47 5 5 3549.4 28.2. ,14.194.114.0 95.17,15 4.015 063.783.623.523.45 .3334 3.23.17.15 3.78678910 46 33.293.18 3.113.0 32222 2.982.9c2.942.842.8023.59263.072.9 .8878.75 46.562 6931 1 2.59 .73,67 .5 3 62.422.38.83 .61 .2 2 .7322 .55 51 47 .422.32.253.22 46 2.332.35.322.20.162.12 .23 .86.662.54 11213415 .18 2.3 8161.39332.282.2 2.2 2.262.12 .0 22.19,060197 .76.56 .2.230 14 2.52.39231 242.192.1 2.12 .961.911.12.70 .492.362. 2.162.12p.092.061.921.87.83 3.0 16171890 967.463.242.182.132.093.02.0d2031 .891.841 .44 222 22.79 2.001.861.81 62 28 99 2.04.00 .841.78,73 112.0p.021.98h.96.811.76 2.16 .092.042.001.96.941.79p.741.69 22248882880 2.95 222.13.06p.011.91.931.90h.76.705 盟54332.19.104h.981.941.911.881.73.67.2 .17282 1.961.921.88 9 1.861.70.6502.29 59 .162..94.90 1.86 2.88 1.841.6 1.62 .6492.282 142.05 1.931.881.851.821.61.611.55 鹄 2.84.442232.092 1 1.87 1.79 2.7 2 .76 392.61 .54 182.04 48 2.752. .87.82 1.99 1.741.711.54 .90 .7 1.681.65i 8 oo 2.712.3 .481 2.081.941.851.77l.71.671.63.601.421.34 11 ,-298 ==========第305页========== F(1,m) 5% h 1 3 4 5 8 7 9 10203050 炉 161200216225230234237239241242248250252 12345 18.519.019.19.9.319.89.49.49.4 10.1 9. 9.018.94.893.8 3 8.818.79 771 59.36.266.1.096.046.005.965.806.755.70 61 5.4红 5.054.954884.824.774.744.664.504.44 5.995.144.764.534.394.284.214.154.104.063.873.813.75 67891055.59 4.354.12.973.873.793.733.683.643.443.383.32 .693.583.503.443.393.35$.153.083.02 5.483.373.293.233.183.142.942.86p.80 4.964.13.71 3.333.22$.145.073.022.982.772.702.64 11 4.843.98.593363.20 3.012.952.902.852.652.572.51 3131455 4.73.89.49263.113 2.912.82.802.7.542.472.40 4.63.8113.13.03.9.83772.727 :462.382:310 .74 85.7 65 .60.392.32.24 64p.69,54 2.18 4.493.633.243. .8222. .659 2.64 49.28 2.192.19 6789033.592096 81222222222 .622222 ..9 2 .156 4红 :04 .383 523.974 42 38 228 2222 074.33.493.102. 7 6051 6 ,12 .04 4.30 4498246858803.05 .2 .40 .2662222 2222 422107江111.918 26 5 2222232222 30 ,86 3 .372 982.747 .22 .82 4.34.9 5 9 8 4.173.322.9262.53 93 4.083.232.842.612.45.34 22.1 .122.08.84.7466 4.033.182.792.5 .22220 ,12.04.003.152.762.53 2 .214 3.963.112.722.492.332.21.132.02.001.95.70. 100 3.943.092.702.46.312.192.102.031.971.931.68571.4 120 3.923.072.682.452.292.182.092.026.911.66.5546 60 3.843.00p.602.37.212.102.011.94i.81.831.571.461. 299 ==========第306页========== 五、习题答案 第七章 第-节1.)2=8；(2)x2=-明(3)x2=-16y. 2.2=13050y.3.g2=4000g.5.y=号.6.4.9米. 7.0.57米，0.47米.8.距顶点94厘米处. 9.y2+20x-6y-51=0,=-20x.10.（-4,-1), (婴，-.山y=0+6. 第二节2.y=-x2-2x.2.(1)（-3,-2),公+3=0，向下开口影 2(,-)6x一5=0，向上开口.4，应使长方形的高为 0.8尺.5.g=30尺，其他两边是15尺.6.长方形都分的宽和高的比应是2：1.7.一间，长：宽=2：1； 一排n间，长：宽 (n+1)n. 第三节1.是，-1.3.①，-2②6生y屈，4 ®)V±W;(倒品，-号.8.0毫米， 4.20.7毫米.5.0.45米，1.6米.6.61%. 7.(1)0,-4;(②)6. 第八章 第一节1.(s-6)2+(y-2)2=26.2.6.88毫米.3.54.7毫米. 4.(x+4)2+(y+1)2=25. 6.D6-풍(D+の)+Dd-(H-A) (H-h+D-d.第二节1.需+器-②号+若-山()끓+뚜(4)品+그고 -300一 ==========第307页========== 3.3.52+a:하1.3.3.4米。4。品+그x? 品+盖-1.5.12.5,5.6+=350，2 o+-1, -0.7.1. 0):②2 第三节1.斋-指-因一荒+01;3)끓-；4 一-1,2，a、 6-209-1, 3.1.4一그，。-닿-고94 第九章 第-节1.A(6,45),B(4,135),C(5,210),D(4,-45 E(6,0),F(5,180).3.(3,0),(2W2,-2√②)， (-V,-6.4.(8,,（,是=）a3,23). 6.p=20+20.7.e=300≤0<)，p-27+90(铝<6<号✉力每则名点的坐标：(0，），(1，》,》,®，第-） 9.)p-56+2000≤0<；（②p=76(e<0<号m方(8-136-0(受<0<2=）. 112.5 [x-98.5(coso+osin), 第二节 c0sa’3 0-tga-a. y=98.5(sino-ocoso). 第十章 第-节1.(1)3,4,5；(2)-5，-7.5，-3；()-3. ー31 ==========第308页========== 2.②20，（倒0：国10.9.-2678 (2)3.6232;(3)0.8963;(4)0.4824.4,(1)-3;(②)-n.第二节1.(1)5.1279；（②）0.2062；(3)1.7783. 2.(1)5.140:(2)0.962.3.10马力.4.404.3米. 5.约4年.6.3569斤. 第十二章 第一节5.y=121斤，92=59.9.6.750小时. 第二节4.比较五种施肥方法的平均亩产量258.3,275.7,272.0， 268.2,253.7(斤)，知道第二种施肥方法最好.5，答案见下表. 品 种 4 Ao A 4 位 次 8 4 1 2 折合亩产雅（斤） 900.8 743.9 1036.9 969.2 6,品种的影响显著.行与列之间土壤肥力的差异都不显著.品种1最好.7，(1)工g(2)(但不能估计误差)；（②）乙6(2)；(3) Lm(318);(4)Lm(31).8.B因子的斯响最大，A次之，0再次 之.各因子的较优水平是A2,B2,C,.9.方差分析表明，因子C和 交互作用A×B显著.最优生产方業是A1B,C,D, 第三节3.9=-437.44+25.68如，但根据方差分析，此回归关系 不能认为是一直线.4可=4.53+70；当x-70立方米/秒时， g=9.53小时. —302一 ==========第309页==========